Trasformazioni lineari e lipschitziane

[Ianya]

Buongiorno
Avrei due domande:
- nella dimostrazione della lipschitzianità delle trasformazioni lineari, si parte dal fatto che $abs(Tx) <= c abs(x) $; perché? Cosa rappresenta $c$? Ho capito che poi diventa la costante di Lipschitz ma in quella disequazione relativa ad una $T$ trasformazione lineare, cosa rappresenta?
- Da cosa si deduce che, dato un cubo $Q$ e posto $δ=abs(det T)$, $abs(TQ) = δ abs(Q)$?

[dissonance]

Un po' di contesto non guasterebbe. Comunque, le risposte sono piuttosto facili. Tu vuoi dimostrare che
\[
|Tx-Ty|\le c|x-y|, \]
ma siccome \(T\) è lineare, il membro sinistro diventa \(|T(x-y)|\), quindi ponendo
\[
X:=x-y, \]
si vuole dimostrare che
\[
|T(X)|\le c|X|.\]
Che è il "fatto" da cui parti tu, solo che tu hai usato la lettera minuscola e io la maiuscola, ma evidentemente è esattamente la stessa cosa.

La seconda domanda, invece, è una proprietà fondamentale del determinante, vedi per esempio qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant (cerca "Geometrically, ...").

[vict85]

Forse mi ricordo male, ma penso che tu debba aggiungere un continue o limitate alla linearità (a meno che tu non stia supponendo che lo spazio sia uno spazio vettoriale finito dimensionale). Quella costante, è infatti la norma dell'operatore. Ma è strano che tu non abbia visto queste cose, in che corso stai trattando queste cose?

Geometricamente parlando, con le condizioni che ho detto sopra, la palla chiusa di raggio 1 centrata in 0 viene mandata in un intorno chiuso e limitato di 0 nell'immagine. Quella costante \(c\) è la norma massima degli elementi dell'immagine di quella palla chiusa. Nel caso finito dimensionale è abbastanza semplice da visualizzare.

[Ianya]

Un po' di contesto non guasterebbe. Comunque, le risposte sono piuttosto facili. Tu vuoi dimostrare che
\[
|Tx-Ty|\le c|x-y|, \]
ma siccome \(T\) è lineare, il membro sinistro diventa \(|T(x-y)|\), quindi ponendo
\[
X:=x-y, \]
si vuole dimostrare che
\[
|T(X)|\le c|X|.\]
Che è il "fatto" da cui parti tu, solo che tu hai usato la lettera minuscola e io la maiuscola, ma evidentemente è esattamente la stessa cosa.

La seconda domanda, invece, è una proprietà fondamentale del determinante, vedi per esempio qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant (cerca "Geometrically, ...").

Grazie ma non ho capito la risposta alla prima domanda. So come procedere per la dimostrazione ma non ho capito perché, quando una trasformazione è lineare, si ha che $abs(T(x)) <= c abs(x) $ Forse, rapprensetando la trasformazione lineare con una matrice $T$ ed $x$ con un vettore colonna, è una proprietà del prodotto righe per colonne?

[dissonance]

Qua devi specificare tu il contesto, come dice vict. Dove è definita \(T\)? Qual è la sua immagine? Cosa significa \(|x|\), se \(x\) è un vettore?

[Ianya]

Qua devi specificare tu il contesto, come dice vict. Dove è definita \(T\)? Qual è la sua immagine? Cosa significa \(|x|\), se \(x\) è un vettore?

Forse mi sono espressa male, provo ad esprimermi con più precisione

$T:R^n rarr R^n$ trasformazione lineare rappresentata mediante una matrice quadrata $nxn T$. Riguardato $x in R^n$ come vettore colonna, $T(x) = Tx$ prodotto righe per colonne. Perché $abs(Tx) <= c abs (x) $ con $abs(Tx) $ e $abs(x) $ moduli?

[Ianya]

Forse mi ricordo male, ma penso che tu debba aggiungere un continue o limitate alla linearità (a meno che tu non stia supponendo che lo spazio sia uno spazio vettoriale finito dimensionale).

Quindi, in generale non è sempre vero che una trasformazione lineare è lipschitziana? Bisogna che sia anche limitata o continua?

[dissonance]

Forse mi sono espressa male, provo ad esprimermi con più precisione

$T:R^n rarr R^n$ trasformazione lineare rappresentata mediante una matrice quadrata $nxn T$. Riguardato $x in R^n$ come vettore colonna, $T(x) = Tx$ prodotto righe per colonne. Perché $abs(Tx) <= c abs (x) $ con $abs(Tx) $ e $abs(x) $ moduli?

Ora va meglio

La risposta alla tua domanda è che quella è una conseguenza della continuità e della linearità di \(T\). Infatti, usando la linearità,
\[
\frac{|Tx|}{|x|}=\left| T\frac{x}{|x|}\right|, \]
quindi
\[
\sup_{x\ne 0} \frac{|Tx|}{|x|} = \sup_{x\ne 0} \left| T\frac{x}{|x|}\right| = \sup_{y\in S}\left|Ty\right|,\]
dove \(S\) denota la sfera unitaria di \(\mathbb R^n\). Ora, il sup all'ultimo membro a destra è finito, perché \(S\) è un insieme compatto e \(T\) è continua: possiamo quindi denotare
\[
c:=\sup_{y\in S}\left|Ty\right|.\]
Ma questo \(c\) è anche il sup del rapporto \(|Tx|/|x|\), quindi
\[
\frac{|Tx|}{|x|}\le c,\qquad \forall x\ne 0, \]
che è la formula che cercavi.

[dissonance]

Mi accorgo solo adesso che vict aveva sostanzialmente già dato la stessa spiegazione. In effetti il ragionamento di vict non usa la compattezza di \(S\), quindi è migliore perché si può anche applicare agli spazi di dimensione infinita. Ma questo thread è finito-dimensionale, visto che si parla anche di determinante, che non esiste in dimensione infinita.

[vict85]

Puoi ovviamente vederlo anche a livello di coordinate. Nota che non hai bisogno che \(c\) sia il più piccolo valore che soddisfa quella disequazione.
Infatti, per qualsiasi norma vale la disuguaglianza triangolare \(\lVert \mathbf{x} + \mathbf{y} \rVert \le \lVert \mathbf{x}\rVert + \lVert\mathbf{y} \rVert\). Applicato a \(\lVert T\mathbf{v}\rVert = \lVert \alpha_1 T\mathbf{b}_1 +\dotsb + \alpha_n T\mathbf{b}_n\rVert\) ricaviamo \(\lVert T\mathbf{v}\rVert \le \alpha_1\lVert T\mathbf{b}_1\rVert +\dotsb + \alpha_n \lVert T\mathbf{b}_n\rVert \le n\max \lVert T\mathbf{b}_n\rVert\) (se la norma di \(\mathbf{v}\) è \(1\) e la base è ortogonale allora i vari \(\{\alpha_i\}\) sono minori o uguali a \(1\)). Quindi ti basta prendere \(c = n\max \lVert T\mathbf{b}_n\rVert\).