Derivata dell'inversa

[LoreT314]

Ciao a tutti
Sto preparando l'orale di analisi (pregate per me ) e ho un dubbio sulla derivata dell'inversa
Il teorema mi è così presentato
Sia $f:(a,b) rarr RR$, invertibile e continua su $(a,b)$ e derivabile in $x_0 in (a,b)$, con derivata in $x_0$ non nulla. Allora $f^-1$ è derivabile in $f(x_0)$ e la derivata è ciò che tutti conosciamo. Ora, non riesco a capire il motivo per cui poniamo f continua in tutto $(a,b)$, ho guardato la dimostrazione, e non capisco dove usiamo quel fatto (se volete posto quella che stavo guardando). Si usa solo la continuità in $x_0$...
Effettivamente su wikipedia leggo che si può costruire un esempio di una funzione da $RR$ in $RR$ invertibile e con derivata in $0$ uguale a $1$, la cui inversa nel punto $f(0)$ non è continua (e quindi neppure derivabile).
Direi quindi che l'ipotesi di continuità in tutto un intorno e non solo in $x_0$ sia cruciale... Qualcuno riesce a portare un controesempio?

[anto_zoolander]

Provo a dirti la mia: la tua funzione, sotto queste ipotesi, è un omeomorfismo locale, il che ti permette di affermare che ogni $f(x_0)$ ha un intorno in cui $f^(-1)$ è continua

[LoreT314]

Premetto che non sapevo cosa fosse un omeomorfismo, ne tanto meno uno locale. Ho cercato di documtarmi però.
Però non ho capito a cosa ti riferisci con "sotto queste ipotesi". Intendi con o senza la continuità in tutto un intorno di $x_0$?

[LoreT314]

Ok, quello che non capisco però è perché se levo la continuità in tutto un intorno il teorema cessa di valere
Stiamo cercando una funzione invertibile, derivabile in un punto con derivata non nulla, la cui inversa non è continua nell'immagine di quel punto.
Io stavo pensando a qualcosa tipo
$x^2+x$ sui razionali, $x$ sugli irrazionali. In questo modo è derivabile solo in 0, con deviata uguale a 1. Non so capire però se l'inversa è continua.
Grazie per l'aiuto

[anto_zoolander]

@lore
Prendi la tua funzione $f:(a, b) -> RR$ supponendola continua e invertibile.

Comunque prendi un punto $x_0 in (a, b) $ puoi trovare sempre un intero positivo per cui $U=[x_0-r,x_0+r]subset(a,b)$

La restrizione $f:U->f(U) $ è ancora una funzione continua e invertibile. Stavolta però hai un dominio che è un compatto e un codominio che è ha la proprietà di Hausdorff quindi la funzione ha anche l'inversa continua.

Poiché $CsubsetU$ chiuso => chiuso in un compatto è compatto => l'immagine di un compatto mediante una funzione continua è compatta => un compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso.
La funzione manda quindi chiusi in chiusi e quindi ha l'inversa continua.

Questo perché le funzioni derivabili devono essere quantomeno continue, in questo modo ti garantisci la continuità dell'inversa.

[dissonance]

La mia sensazione da dilettante è:
a) la dimostrazione del teorema della derivata della funzione inversa nel caso generale $f:RR^n to RR^n$ non è affatto semplice (una dimostrazione relativamente autonoma, cioè non basata su altri teoremi già dimostrati, in Marsden, Elementary Classical Analysis, occupa quattro pagine);

La tua sensazione è corretta; la difficoltà, data una funzione \(f\colon\mathbb R^n\to \mathbb R^n\), è dimostrare che esiste una funzione differenziabile \(g\) tale che \(f(g(y))=y\) per ogni \(y\) in un insieme aperto; dopodiché la formula
\[
Dg(y)=Df(g(y))^{-1}\]
si ottiene immediatamente dalla regola della catena. Sono d'accordo sul fatto che la grossa difficoltà, oltre all'esistenza della \(g\), sia dimostrare che essa è continua; dopodiché la sua differenziabilità si prova rapidamente con il cambio di variabile \(y=g(x)\).

b) il punto centrale è quello indicato da anto_zoolander: si devono dimostrare l'esistenza e la continuità della funzione inversa; è questa la vera essenza del teorema della funzione inversa - di più: ne è l'enunciato - e la "regola" di derivazione ne segue come conseguenza;

Come dicevo prima sono d'accordo.

c) quanto al caso particolare $f:RR to RR$, alcuni testi (Apostol, Marsden, Rudin per fare qualche esempio) non lo considerano proprio; nei testi che lo trattano, la sua semplicità porta a... semplificare, perché l'esistenza e la continuità di un'inversa per una funzione continua e strettamente monotona (quindi invertibile) sono "evidenti";

Vero. Secondo me è un caso interessante, però. È totalmente diverso dal caso generale, grazie alla monotonia.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Di recente ho avuto la bellissima occasione di pranzare con un grande professore tedesco, che oltre alla ricerca si cura molto della didattica, per sfortuna dei suoi studenti. Infatti, uno dei suoi progetti è riformare l'insegnamento dell'analisi spostando il focus dalla continuità alla monotonia. La continuità è una informazione qualitativa, topologica; la monotonia è una informazione quantitativa, già nella sua definizione compare il simbolo di disuguaglianza, quindi secondo questo signore è una informazione più importante, dal punto di vista dell'analisi. Io sono d'accordo ma non vorrei essere un suo studente del primo anno. Se trovo le note di questo professore le posterò qui.

Ho imparato molto su questo teorema leggendo il blog di Terry Tao.