moto circolare uniforme - curva inclinata

[dbh]

Ho studiato questo
https://www.matematicamente.it/forum/mo ... 41841.html
ma... una cosa non mi è chiara.


Il problema MI VIENE e dice:
Per un concorso scientifico Arianna e Paolo devono progettare una curva inclinata in modo tale che un'automobile possa percorrerla alla velocità di 10 m/s senza fare affidamento sull'attrito tra le gomme e l'asfalto.
Per via di vincoli urbanistici, il raggio della curva deve essere di 14 m.
Di quale angolo dovrà essere inclinata la curva che devono progettare?
R. 36°

Allego la foto dei miei vettori:


r = 14 m
v = 10 m/s
$beta$?

Nel link di questo forum, indicato sopra dicono di uguagliare accelerazione centripeta e accelerazione di gravità:
$\vec a_c = \vec g$
quindi nel mio caso avrei:
$ a_c cos \beta = g sen \beta$
PERCHE' QUESTA UGUAGLIANZA se entrambi i vettori hanno la stessa direzione e lo stesso verso?

Per avere questa uguaglianza dovrei avere che i due vettori dovrebbero avere la stessa dirzione e VERSO OPPOSTO
Grazie in anticipo per la spiegazione.

$ v^2/r cos \beta = g sen \beta$
$tg \beta = v^2 / (r * g) $
$beta = arc tg v^2 / (r * g) = arc tg (10^2 /(14 * 9.8)) = 36.08°$

p.s.
Non so se scrivendo sotto il link indicato il post si vedrebbe e così ne apro uno nuovo riferito al mio problema.
Litigo con i vettori: si vedrà anche in alcuni miei post precedenti.
Sto facendo un problema di un mio conoscente di 2° scientifico.
Ho frequentato molti anni fa la facoltà di matematica.

[Shackle]

Già , tu sei quella gentile signora che litiga con i vettori...

E infatti, non hai fatto il disegno giusto. L’automobile è soggetta a due forze : il peso $mvecg$ verticale diretto verso il basso, e la reazione normale del piano stradale $vecN$, la quale non essendoci attrito è perpendicolare al piano stesso; quindi la sua retta di azione forma con la verticale lo stesso angolo $beta$ che il piano stradale forma col piano orizzontale. La seconda equazione della dinamica, applicata a questa situazione, dice che :

$mveca_c = mvecg + vecN$

rifai il disegno, tenendo conto delle indicazioni che ti ho dato. Non faccio io il disegno, per farti riappacificare con i vettori , possibilmente.

[mgrau]

Nel link di questo forum, indicato sopra dicono di uguagliare accelerazione centripeta e accelerazione di gravità:
$\vec a_c = \vec g$
quindi nel mio caso avrei:
$ a_c cos \beta = g sen \beta$
PERCHE' QUESTA UGUAGLIANZA se entrambi i vettori hanno la stessa direzione e lo stesso verso?
E cosa c'è di strano? Semmai sarebbe curioso se due vettori con verso OPPOSTO fossero uguali!

[dbh]

Sì, sono proprio io: quella che litiga con vettori

Mi vuoi dire che il vettore normale $vec N$ è messo come $vec N_2$
mentre nel disegno precedente io l'ho messo come $vec N_1$?

[axpgn]

Un altro paio di link sperando ti siano utili … qui e qui

Cordialmente, Alex

[Shackle]

Quando dico che la reazione del piano stradale inclinato è perpendicolare al piano stesso, intendo dire che $vecN$ è messo come quello che ora hai chiamato $vecN_1$ . Però le due componenti, verticale (cioè secondo l’asse $z$ della figura seguente) e orizzontale (cioè secondo l’asse $x$ della figura) hanno valori ben precisi , che derivano dalle proiezioni della 2º equazione della dinamica sui due assi.
La componente verticale ha modulo uguale al peso dell’auto. La componente orizzontale ha modulo uguale a $ma_c$ . L’accelerazione è tutta centripeta. Guarda la figura, si vede subito dal triangolo rettangolo che :

$tgbeta = a_c/g$

la cosa strana è che analiticamente lo hai risolto, ma proprio non riesci a mettere i vettori come si deve.

[dbh]

Volevo usare il sistema di riferimento che si usa sul piano inclinato (asse x parallelo al piano, asse y perpendicolare al piano).
Non capisco perchè con quel sistema di riferimento le cose non funzionano.
Me lo sapreste dire?

Su vostra indicazione ho fatto così:


Su x:
$a_x = a_c = v^2/r$
$F_"totale,x" = m a_x$
$N_x = m v^2/r$
$N sen \alpha = m v^2/r$
$ N = (m v^2)/(r sen \alpha)$ (relazione 1)

Su y:
$a_y = 0$
$F_"totale,y" = m a_y$
$N_y - p = 0$
$N cos \alpha - m g = 0$
$ N = (m g) /(r cos \alpha)$ (relazione 2)

Ora:
$"relazione 1" = "relazione 2"$

$ (m v^2)/(r sen \alpha) = (m g) /(r cos \alpha)$

$ \alpha = arctg (10^2 /(14 * 9.8)) = 36°$

Concordate?
Spero di sì.

[Shackle]

Si ok, ma ti complichi solo la vita. Il mio disegnino bastava.

Se prendi il riferimento che hai detto all’inizio, le cose devono funzionare ugualmente . Evidentemente non scomponi i vettori nel modo giusto.

[professorkappa]

Mamma mia, come complichi pero'.
Se non deve esserci attrito, usando il riferimento che preferisci tu, con un asse parallelo al piano e l'altro normale, si deve semplicemente imporre che la risultante lungo il piano sia pari alla componente della accelerazione (sempre lungo il piano, ovviamente)

Quindi:
$mgsintheta=[mv^2/r]costheta$

da cui la soluzione

$tantheta=[v^2]/[gr]$

Fine.

[dbh]

Sì, forse mi complico la vita ma se non capisco mi faccio 1000 pensieri.

In merito a questo:

$mgsintheta=[mv^2/r]costheta$

dalla figura che ho fatto ora:

allora, dal 2° principio della dinamica, ho:

$ \vec F_"totale,x" = vec p_"parallela"$
$ \vec F_"c,x" = vec p_"parallela"$

così?