Dubbio su endomorfismo

Messaggioda _ester_ » 24/02/2020, 14:18

Riporto la prima parte della traccia di un esercizio:

Si consideri l'applicazione lineare $f_A: RR^4toRR^4$ definita dalla matrice
$A=[(-1,1,0,0),(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,0)]$

In questo esercizio non capisco una cosa: ha senso considerare un'applicazione in cui l'ultima riga e l'ultima colonna della matrice associata sono nulle? Se sì, in cosa si traduce? Sicuramente una variabile è sempre nulla, giusto?
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Re: Dubbio su endomorfismo

Messaggioda anto_zoolander » 24/02/2020, 14:48

Le colonne sono sostanzialmente le immagini dei vettori di una base. Significa che il quarto vettore della base canonica, o in generale il quarto vettore della base a cui è associata la matrice, ha come immagine il vettore nullo.

Oppure visto che le colonne di una matrice generano l'immagine semplicente significa che la sua dimensione è $leq3$
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Re: Dubbio su endomorfismo

Messaggioda Sergio » 24/02/2020, 16:41

_ester_ ha scritto:In questo esercizio non capisco una cosa: ha senso considerare un'applicazione in cui l'ultima riga e l'ultima colonna della matrice associata sono nulle? Se sì, in cosa si traduce? Sicuramente una variabile è sempre nulla, giusto?

Certo che sì, e già anto_zoolander te lo ha mostrato.
Aggiungo che se provi $Av$ con $v=(1,2,3,4)$ ottieni $(1,4,5,0)$. In generale, otterrai sempre un vettore con la quarta componente nulla.
Quella matrice non è una matrice di proiezione, ma le matrici di proiezione sono l'esempio più chiaro di cosa può succedere con una riga e/o colonna tutta nulla.
Ad esempio, $P=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$ è una matrice di proiezione. Se $v=(1,2,3)$, $Pv=(1,2,0)$ è la proiezione di $v$ sul piano orizzontale.

Quella matrice $A$ è un'altra cosa, perché non è idempotente.
Con una vera matrice di proiezione succede che, dopo aver ottenuto la proiezione di un vettore, la proiezione della proiezione è ancora la proiezione già ottenuta. In concreto: $PPv=Pv$, cioè $PP=P$. Questo vuol dire che $P$ è idempotente.
Con la tua $A$ non è così, ma spero che l'esempio di $P$ ti aiuti a vedere che non c'è nulla di strano in righe o colonne nulle della matrice associata a un'applicazione.
$A$ è una matrice con un autovalore nullo che ha molteplicità algebrica e geometrica 2. Questo vuol dire che tutti i vettori di $RR^4$ che sono combinazione lineare dei vettori $(1,1,-1,0)$ e $(0,0,0,1)$ vengono trasformati dall'applicazione nel vettore nullo. Il nucleo dell'applicazione e della matrice associata ha dimensione 2. Tutto qui.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Re: Dubbio su endomorfismo

Messaggioda _ester_ » 24/02/2020, 18:47

Grazie, ora è abbastanza più chiaro :)
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Re: Dubbio su endomorfismo

Messaggioda Bokonon » 24/02/2020, 19:02

Se poi si entrasse nello specifico (ma solo per il gusto di farlo e non perché aggiunga nulla di importante a quanto già detto da Anto e Sergio), è una matrice simmetrica quindi gli autospazi sono perpendicolari. Gli autovalori sono $0$ e $+-sqrt(3)$.
Quindi l'applicazione prende i vettori di $RR^4$ e li proietta ortogonalmente sul piano generato da due autovettori legati agli autovalori non nulli. Poi prende i vettori sul piano e li riflette lungo la retta legata all'autovalore positivo e infine allunga tutti i vettori risultanti in ragione di $sqrt(3)$.
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Re: Dubbio su endomorfismo

Messaggioda _ester_ » 24/02/2020, 19:40

Bene, grazie ancora :D
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