Esercizio classe di equivalenza

Messaggioda PieroH » 24/02/2020, 16:53

Salve, ho un esercizio che dice:
Sia $A$ l'insieme dei numeri interi di $ZZ$. Si definisca sull'insieme $A$ la relazione $R$ definita nel modo segunte:
$a R b$ se e solo se $a^2 - b^2 $ è multiplo di 4 $AA a,b in A$

Calcola la classe di equivalenza di 3.
Mi chiede anche di verificare che $R$ sia una relazione di equivalenza ma ci sono già riuscito.
Grazie in anticipo :)
PieroH
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Re: Esercizio classe di equivalenza

Messaggioda gugo82 » 24/03/2020, 03:11

Se $a mathcal(R) b <=> a^2 = b^2 + 4h$, la classe di equivalenza di $3$ contiene gli $a$ tali che $a^2 = 9 + 4h = 4k + 1$ (con $k = h+2$).
Quindi $bar(3)$ contiene tutti i numeri i cui quadrati sono congrui ad $1$ modulo $4$ (che è un modo stringato per dire: i cui quadrati differiscono di una unità da multipli di $4$).
Facendo un po’ di esperimenti si vede che i quadrati di $+-3$, $+-5$, $+-7$, $+-9$ ed $+-11$ soddisfano la proprietà di cui sopra, quindi è lecito congetturare che ogni numero dispari appartenga a $bar(3)$.
Riesci a dimostrarlo?


Ultimo bump di PieroH effettuato il 24/03/2020, 03:11.
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