Dubbio su endomorfismo

[_ester_]

Riporto la prima parte della traccia di un esercizio:

Si consideri l'applicazione lineare $f_A: RR^4toRR^4$ definita dalla matrice
$A=[(-1,1,0,0),(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,0)]$

In questo esercizio non capisco una cosa: ha senso considerare un'applicazione in cui l'ultima riga e l'ultima colonna della matrice associata sono nulle? Se sì, in cosa si traduce? Sicuramente una variabile è sempre nulla, giusto?

[anto_zoolander]

Le colonne sono sostanzialmente le immagini dei vettori di una base. Significa che il quarto vettore della base canonica, o in generale il quarto vettore della base a cui è associata la matrice, ha come immagine il vettore nullo.

Oppure visto che le colonne di una matrice generano l'immagine semplicente significa che la sua dimensione è $leq3$

[_ester_]

Grazie, ora è abbastanza più chiaro

[Bokonon]

Se poi si entrasse nello specifico (ma solo per il gusto di farlo e non perché aggiunga nulla di importante a quanto già detto da Anto e Sergio), è una matrice simmetrica quindi gli autospazi sono perpendicolari. Gli autovalori sono $0$ e $+-sqrt(3)$.
Quindi l'applicazione prende i vettori di $RR^4$ e li proietta ortogonalmente sul piano generato da due autovettori legati agli autovalori non nulli. Poi prende i vettori sul piano e li riflette lungo la retta legata all'autovalore positivo e infine allunga tutti i vettori risultanti in ragione di $sqrt(3)$.

[_ester_]

Bene, grazie ancora