proprietà dell'integrale di Riemann

[Aletzunny]

Ho cercato su diversi testi e online la dimostrazione di queste 3 proprietà dell'integrale di Riemann ma non ho davvero trovare nulla.

siano $f$ e $g$ dall'intervallo $I->R$ Riemann integrabili allora:

$1)$ $f*g$ è integrabile ma $\int_I f(x)dx$ $*$ $\int_I g(x)dx$ $!=$ $\int_I (f*g)(x)dx$

$2)$ se $I= J_1 uu J_2$ , $f$ è integrabile su $I$ se e solo se è integrabile su $J_1$ e su $J_2$ e vale
$\int_I f(x)dx$ $=$ $\int_(J_1) f(x)dx$ $+$ $\int_(J_2) f(x)dx$ $-$ $\int_(J_1 nn J_2) f(x)dx$

$3)$ se $f$ e $g$: $I->R$ sono limitate su $I$ limitato e $f=g$ eccetto che in un numero finito di punti allora $f$ è Riemann integrabile se e solo se $g$ lo è e in tal caso $\int_I f(x)dx$ $=$ $\int_I g(x)dx$


Grazie a chi mi aiuterà

[Mephlip]

Per quanto riguarda la prima, non la devi dimostrare: basta trovare un controesempio, prova con $f(x)=x$ e $g(x)=x^2$ su $I=[0,1]$.
Per la seconda, se vuoi una dimostrazione intuitiva disegna i diagrammi di Venn e noterai che l'intersezione è contata due volte nell'integrazione e dunque va sottratta; per una dimostrazione rigorosa usa le descrizioni insiemistiche di $J_1$, $J_2$ e $J_1 \cup J_2$.
Per la terza, se $f \ne g$ nei punti $x_1,...,x_n$ con $a < x_1 <...<x_n<b$ puoi scrivere
$$\int_a^b f(x) \text{d}x= \int_a^{x_1} f(x) \text{d}x+...+\int_{x_{n-1}}^{x_n} f(x) \text{d}x$$
Ma $f=g$ tranne in $x_1,...,x_n$ e dunque hai
$$\int_a^{x_1} f(x) \text{d}x+...+\int_{x_{n-1}}^{x_n} f(x) \text{d}x+\int_{x_n}^b f(x) \text{d}x=\int_a^{x_1} g(x) \text{d}x+...+\int_{x_{n-1}}^{x_n} g(x) \text{d}x+\int_{x_n}^b g(x) \text{d}x=$$
$$=\int_a^b g(x) \text{d}x$$
Non sono sicurissimo di quest'ultima, magari aspetta pareri più esperti del mio.

Edit: corretto un typo, avevo scritto unione invece di intersezione.

[dissonance]

La terza va sostanzialmente bene, ma dovresti dimostrare che
\[
\int_a^{x_1} f(x)\, dx = \int_a^{x_1} g(x)\, dx, \]
e similmente sugli altri intervallini. In effetti si riduce a dimostrare che, detta \(h:=f-g\), si ha
\[
\int_a^{x_1}h(x)\, dx=0.\]

[Mephlip]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Definiamo $h(x):=f(x)-g(x)$, per ipotesi $f$ e $g$ sono integrabili secondo Riemann e dunque $h$ è integrabile secondo Riemann; inoltre $h$ è limitata in quanto differenza di funzioni limitate.
Sia $H$ la funzione integrale di $h$, per il teorema fondamentale del calcolo integrale $H$ è continua in quanto $h$ è limitata.
Sia $\varepsilon>0$, per la continuità di $H$ si ha quindi che
$$H(x_1)=\int_a^{x_1} h(x) \text{d}x=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{x_1-\varepsilon} h(x) \text{d}x$$
Ma per $x\in[a,x_1)$ è $f=g$, pertanto
$$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{x_1-\varepsilon} h(x) \text{d}x=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{x_1-\varepsilon} 0 \text{d}x=0$$
Similmente negli altri intervalli.

@dissonance: può andare?

Edit: aggiunta una $h$ mancante.

[dissonance]

Si, va bene.

[Aletzunny]

Per quanto riguarda la prima, non la devi dimostrare: basta trovare un controesempio, prova con $f(x)=x$ e $g(x)=x^2$ su $I=[0,1]$.
Per la seconda, se vuoi una dimostrazione intuitiva disegna i diagrammi di Venn e noterai che l'unione è contata due volte nell'integrazione e dunque va sottratta; per una dimostrazione rigorosa usa le descrizioni insiemistiche di $J_1$, $J_2$ e $J_1 \cup J_2$.
Per la terza, se $f \ne g$ nei punti $x_1,...,x_n$ con $a < x_1 <...<x_n<b$ puoi scrivere
$$\int_a^b f(x) \text{d}x= \int_a^{x_1} f(x) \text{d}x+...+\int_{x_{n-1}}^{x_n} f(x) \text{d}x$$
Ma $f=g$ tranne in $x_1,...,x_n$ e dunque hai
$$\int_a^{x_1} f(x) \text{d}x+...+\int_{x_{n-1}}^{x_n} f(x) \text{d}x+\int_{x_n}^b f(x) \text{d}x=\int_a^{x_1} g(x) \text{d}x+...+\int_{x_{n-1}}^{x_n} g(x) \text{d}x+\int_{x_n}^b g(x) \text{d}x=$$
$$=\int_a^b g(x) \text{d}x$$
Non sono sicurissimo di quest'ultima, magari aspetta pareri più esperti del mio.

per quanto concerne il punto $3)$ ho perfettamente capito.
Per il punto $1)$ ho capito che per dimostrare che sono differenti basta un controesempio, tuttavia per dimostrare che $f*g$ è integrabile non è necessario farlo in generale?
e su quest'ultimo punto non riesco a venire a una soluzione.
infine per la seconda non capisco cosa si intenda con descrizione insiemistica.
Ho provato a risolverla nello stile della $3)$ ma senza risultati.

grazie

[Mephlip]

@dissonance: grazie per la conferma!

@aletzunny: prego! Scusami per aver filtrato $fg$, pensavo ti servisse solo il controesempio.
In realtà la dimostrazione dipende dalla definizione di integrale che usi, usi quella con le somme di Riemann o con le funzioni semplici?
Per descrizione insiemistica intendo procedere scrivendo gli insiemi per esteso, ad esempio $J_1 \cup J_2 =\{x \ \text{t.c.} \ x\in J_1 \ \text{o} \ x\in J_2\}$, per poi arrivare dove vuoi arrivare.

[Aletzunny]

@dissonance: grazie per la conferma!

@aletzunny: prego! Scusami per aver filtrato $fg$, pensavo ti servisse solo il controesempio.
In realtà la dimostrazione dipende dalla definizione di integrale che usi, usi quella con le somme di Riemann o con le funzioni semplici?
Per descrizione insiemistica intendo procedere scrivendo gli insiemi per esteso, ad esempio $J_1 \cup J_2 =\{x \ \text{t.c.} \ x\in J_1 \ \text{e} \ x\in J_2\}$, per poi arrivare dove vuoi arrivare.

Allora perdonami ma con il punto $2)$ non sto capendo come agire soprattutto per dimostrarlo.

Per la definizione di integrale usiamo questa.
$s(f,I)=h(\int_I phi: phi<=f)$ dove $h$ è il sup e $phi$ è una funzione a scala. $s(f,I)$ è l'integrale inferiore.

$S(f,I)=t(\int_I sigma: sigma>=f)$ dove $t$ è l'inf e $sigma$ è una funzione a scala. $S(f,I)$ è l'integrale superiore.

Allora f è integrabile se $s(f,I)=S(f,I)$

O equivalentemente per ogni $epsilon>0$ esitono $sigma,phi$ a scala con $phi<=f<=sigma$ su $I$ tale che $0<= (\int_I sigma)-(\int_I phi)<epsilon$

[Mephlip]

Ok, funzione a scala e funzioni semplici sono sinonimi.
Comunque sto rimanendo volutamente criptico, ti invito a provare da solo.
Io non sono molto pratico di insiemistica e quindi dovrei pensarci un pochino, non so se ho il tempo di mettermici (sono sotto esami ); prova a dimostrare che $fg$ è integrabile, sostanzialmente devi costruire $\phi$ e $\sigma$ per la funzione $fg$ partendo da quelle per $f$ e per $g$.

P.S.: se stai rispondendo direttamente all'utente sopra cerca di non citare (a meno che non sia necessario citare alcune parti), altrimenti il post diventa un po' più pesante da leggere

[Aletzunny]

Ok, funzione a scala e funzioni semplici sono sinonimi.
Comunque sto rimanendo volutamente criptico, ti invito a provare da solo.
Io non sono molto pratico di insiemistica e quindi dovrei pensarci un pochino, non so se ho il tempo di mettermici (sono sotto esami ); prova a dimostrare che $fg$ è integrabile, sostanzialmente devi costruire $\phi$ e $\sigma$ per la funzione $fg$ partendo da quelle per $f$ e per $g$.

P.S.: se stai rispondendo direttamente all'utente sopra cerca di non citare (a meno che non sia necessario citare alcune parti), altrimenti il post diventa un po' più pesante da leggere

Ci provo... grazie