Definizione continuità funzione vettoriale

[Lorenzo_99]

Buonasera, ho un dubbio sulla definizione di continuità per una funzione vettoriale. O meglio, ho trovato due versioni di definizione e non sono sicuro siano corrette. Sapreste aiutarmi?

1) Una funzione $f$: $\RR^n$ → $\RR^m$ è continua in $x_0$ se \( \forall \varepsilon > 0\) \( \exists \delta > 0 \) $ : AAx \in dom(f)$ $|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) − f(x_0)| <$ \(\varepsilon \)

2) Una funzione $f$: $\RR^n$ → $\RR^m$ è continua in $x_0\in dom(f)$ se \( \forall \varepsilon > 0\) \( \exists \delta > 0 \) $ : |x - x_0| < \delta $, con $x \in dom(f)$, $\Rightarrow |f(x) − f(x_0)| <$ \(\varepsilon \)

Mi sembra più giusta la seconda perchè considerare tutte le $x$ del dominio (nella prima) mi torna poco. Forse la prima potrebbe valere per la continuità in tutti i punti del dominio della funzione vettoriale mentre la seconda solo nel punto $x_0$.

[Overflow94]

Entrambe le definizioni hanno senso solo se $ x $ e $ x_0 $ appartengono al dominio, altrimenti $ f(x) $ e $ f(x_0) $ non sarebbero definiti. Quindi la seconda è uguale alla prima solo che esplicita qualche dettaglio (ovvio) in più, entrambe si riferiscono alla continuità puntuale ("continua in $ x_0 $ ").

[Lorenzo_99]

Altra cosa: \( \delta \) dipenderà sia da $x$ che da \( \varepsilon \) come se non mi sbaglio accade per la continuità "tradizionale". Altrimenti, scelti due punti qualsiasi $x$ (appartenenti al dominio), più o meno distanti da $x_0$, ma con lo stesso \( \delta \), la definizione potrebbe non essere più vera anche se la funzione è continua. Corretto?

[Overflow94]

Si come la continuità di funzioni di una variabile abbiamo che $ delta $ può dipendere sia da $ epsilon $ che da $ x_0 $ ma non deve dipendere da $ x $. Questo perché nella definizione il $ delta $ entra in gioco dopo che abbiamo fissato $ x_0 $ e $ epsilon $, mentre $ x $ entra in gioco dopo che abbiamo fissato anche $ delta $, per rendere l'idea.

In generale una definizione non può essere vera o falsa è appunto una definizione.

[Lorenzo_99]

In generale una definizione non può essere vera o falsa è appunto una definizione.

Era per far capire, forse sarebbe stato più corretto dire "la definizione non è verificata, dunque non dovrebbe essere continua".

In ogni caso ho capito, grazie