Dubbio sul quadrimpulso

[sgrisolo]

Sera ragazzi, ho bisogno di una mano perché continuo ad avvitarmi su un concetto facile ma non trovo il bandolo della matassa. Ho prprio bisogno di qualcuno che abbia voglia di chiarirmi le idee


Il mio dubbio, come da titolo, è relativo al quadrimpulso che so che si ottiene moltiplicando i quadrivettori nello spazio di Minkowski:

$u=(c,\vecv)$ tempo relativo allo'osservatore

$u=(\gammac,\gamma\vecv)$ param.con tempo proprio

Detto questo appunto otengo:

1) $P=(mc,m\vecv)$

2) $P=(m\gammac,m\gamma\vecv)$

rispettivamente.

Se ora quadro P, ottengo l'invariante relativistico per la metrica adottata:

$P^2=E^2/c^2-|\vecp|^2$

$P^2=m^2c^2$

Mettendo assieme si ha: $E^2=|\vecp|^2c^2+m^2c^4$

Se prendo come sistema di riferimento quello con $|\vecp|=0$ ottengo dalla precedente: $E^2=m^2c^4$ ossia $E=mc^2$. Inoltre so che sviluppando al primo ordine con taylor la formula dell'energia totale $E=m\gammac^2$ trovo che $mc^2$ è l'espressione dell'energia a riposo.

Detto questo, tornaimo alla 1 e 2:

mi accoorgo che la 1) ha come primo termine della quadrupla: $mc$ dunque concendo che $E=mc^2$ è semplicemente 1) $P=(E/c,m\vecv)$, cioè per primo termine ho l'energia a rposo diviso per c.

Ma se passo alla 2 so anche che l'energia totale era, come detto: $E_t=m\gammac^2$, dunque il primo termine della 2) è $P=(E_t/c,m\gamma\vecv)$

Se ora però raffronto i primi due slot della quadrupla di 1 e 2, che essendo entrambi parametrizzati con tempi diversi hanno una espressione diversa, ma danno il medesimo valore di $P$, dunque numericamente sono uguali, allora arrivo all'assurdo che $E_t=E$.

Ma la E totale non sarà uguale aquella ariposo in generale.

Ringrazio molto.
Non capisco l'errore e ci sto impazzendo.

[Shackle]

Il primo errore sta in questo :

$ u=(c,\vecv) $ tempo relativo allo'osservatore

$ u=(\gammac,\gamma\vecv) $ param.con tempo proprio

dove lo hai letto ? LA 4-velocità è data da :

$ u=(\gammac,\gamma\vecv) $

punto e basta. Nel riferimento proprio, siccome nessuno viaggia rispetto a se stesso, si ha $v=0$ , da cui $gamma =1 $ . Quindi nel riferimento proprio la formula sopra scritta dà :

$u= (c,0)$

la norma quadra é un invariante relativistico, e vale : $ u^2 = c^2$ . Se fai il calcolo rispetto a un osservatore, che misura la velocità $v$ del mobile, ottieni la stessa norma : provare per credere.

Secondo errore :

Il mio dubbio, come da titolo, è relativo al quadrimpulso che so che si ottiene moltiplicando i quadrivettori nello spazio di Minkowski:

No, non devi moltiplicare nulla. Il 4-impulso si ottiene semplicemente moltiplicando la 4-velocità per la massa invariante :

$ P=(m\gammac,m\gamma\vecv) $

quindi è la definizione 2) che hai scritto. La 1) non ha senso, anzi è sbagliata.
Il resto è conseguenza del fatto che, essendo anche $m$ invariante, la norma del 4-impulso è invariante. Si ha :

$P = (gammamc, gammamv) = (E/c , p) $

Nel riferimento proprio, come prima detto : $gamma =1 $ e $v=0$ , quindi la norma quadra vale :

$P^2 = (mc)^2$

e siccome è anche uguale a : $(E/c)^2 - p^2$ , uguagliando si ottiene l’espressione per l’energia relativistica :

$E^2 = m^2c^4 + p^2c^2 $

Chiaro ?

[sgrisolo]

Ciao, grazie per l'aiuto.

Inizio in ordine inverso poiché il secondo errore è stato solo un errore di spiegazione essendomi incartato mentre ragionavo su cosa scrivere dopo, in realtà intendevo moltiplicare la massa a riposo per la quadrivelocità, tuttavia ho visto che parli della massa invariante. Ero convinto fosse quella a riposo: https://it.wikipedia.org/wiki/Quadrimpulso



Mentre sul primo dubbio sono ancora un po' più spaesato e se ne avessi voglia di ragionarci ancora un po' su con me ti ringraziere tanto! Perché da quanto avevo capito parametrizzare col tempo proprio non vuol dire che parametrizzocon un osservatore inerizale, in quelcaso si avrei (c,0,0,0), ma io voglio parametrizzare coltempo di quelrelativo osservatore (qualunque sia il moto di esso rispetto a un oggetto che ha velocità v rispetto a quel dato riferimento). Non credo cioè sia la v di trascinamento del sistema nella trattazione del prof.
In questo caso mi pare corretto scrivere $P=(c,\vecv)$

Mi chiedevi dove l'ho letto e volentieri di mando lo screen delle pagine incriminate

Ecco qui:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ho preferito mettere tutto il capitolo per rendere una continuità,peròper comodità di lttura posso dirti che la formula incriminata (cioè che a quanto pare non ho compreso) si trova nell'ultima immagine

Buona serata!

PS: se preferissi leggere da pdf fammi sapere che provo a vedere come caricarlo

[Shackle]

Prima osservazione : massa di riposo (o di quiete) , massa in moto , massa relativistica, sono definizioni ampiamente superate. LA massa è una quantità invariante in Relatività. Perciò non ha senso darle alcun attributo. Nel secolo scorso, era diffuso il concetto di “ massa che aumenta con la velocità “ , definita come $m = gammam_0$ . Questo concetto è superato. Lo stesso Einstein riconobbe negli anni che il concetto di massa “in moto” non è esattamente definibile, meglio fare riferimento a “quantità di moto” ed “energia” per una particella materiale , ma anche per una particella non dotata di massa , come ad es i fotoni. Basta infatti osservare che per i fotoni non avrebbe senso parlare di massa che aumenta con la velocità , visto che hanno massa nulla, e non sono mai a riposo, da nessuna parte, in nessun riferimento. Non esiste un riferimento di quiete per un fotone.
Ne abbiamo parlato molte volte in questo forum, se usi la funzione “cerca...” trovi le discussioni fatte.

Seconda osservazione: le pagine che hai postato sono scritte in una maniera per me alquanto contorta e difficile da capire, specie per uno che si accosta alla relatività dall’inizio. Ci sono trattazioni molto più semplici e abbordabili, e soprattutto chiare. Comunque questa è opinione personale. Io ti dico quello che so.

Una linea di universo, percorsa da un viaggiatore V , può anche non essere “rettilinea”, cioè non inerziale rispetto ad un osservatore inerziale OI di riferimento (si suppone OI in quiete) ; il tempo misurato dall' OI, che il tuo prof chiama “tempo relativo”, è chiamato prevalentemente in letteratura “tempo coordinato” $t$ . Tra il tempo coordinato $t$ e il tempo proprio $tau$ , che è quello segnato dall’orologio da polso del “viaggiatore” V, che segue la linea di universo, sussiste la relazione :

$dt = gamma d\tau$

basta, non c’è bisogno di introdurre altri tempi, il tempo proprio e il tempo coordinato bastano e avanzano
In relatività , ma sempre nella scienza, bisogna essere semplici e chiari fin da subito.

Se la linea di universo di V non è rettilinea rispetto ad OI , è una linea curva dove evidentemente ci sono delle accelerazioni; allora, in ciascun punto della linea di universo si deve immaginare un riferimento inerziale “tangente”, momentaneamente comovente con il “viaggiatore” V ( è quello che iil testo chiama “boost di Lorentz locale” ) , che ha in quel punto un certo vettore temporale tangente, la 4-velocità rispetto ad OI. Per una l.u. qualsiasi il fattore $gamma$ di Lorentz non è più costante lungo la linea stessa ma variabile, come variabile è la velocità 3D . Però rimane il fatto che V non viaggia rispetto a se stesso, ma rispetto al dato OI di riferimento. Quindi V scrive la “sua" espressione della 4-velocità:

$u = (c,0) $

qualunque sia la velocità tridimensionale $vecv$ . E questo il testo lo fa capire, mi pare.

Rispetto all’ OI di riferimento, la 4-velocità sarà invece espressa da :

$u = (gamma(v)c, gamma(v)vecv) $

dove come vedi ho evidenziato che il fattore $gamma$ dipende da $v$ e quindi può variare. Ma è sempre e comunque velocita rispetto ad un OI assegnato, chiaro ? LA 4-velocità di V si ricava da questa ponendo v=0 e $gamma =1$. Questa parte del testo:



mi pare sbagliata almeno all'inizio, ma forse non ho ben inteso che cosa vuol dire. LA parametrizzazione col tempo proprio è quella che fa il viaggiatore V, non quella che fa OI; è OI che esprime la 4-velocità nella maniera già detta :

$u = (gamma(v)c, gamma(v)vecv) $

tieni infatti presente che OI misura sia spazi che tempi coordinati (rispetto a lui) , quindi può misurare la lunghezza della linea di universo mediante la metrica dello ST ( formula metrica riportata dal testo, che vale anche per metriche $g_(munu)$ diverse da quella di Minkowski).

Invece , a costo di ripetere noiosamente, il viaggiatore può misurare soltanto il tempo proprio $tau$ che passa sul suo orologio da polso, quindi per lui la lunghezza del cammino lungo la sua linea di universo è data dal tempo proprio moltiplicato $c$ : naturalmente il $ds^2=(cd\tau)^2$ va integrato lungo il cammino. Anche questo, se leggi bene, è detto nel testo, ma non lo trovo chiaro...

Esistono altri appunti sulla relatività, fatti molto meglio; se li trovo (ma li ho citati decine di volte!) metto il link. Cerca ad es le dispense di Colferai, o Galgani, ma ce ne sono migliaia! Su wikipedia intanto trovi questo :

https://en.wikipedia.org/wiki/Four-velocity

Nelle ultime due righe del testo da te riportato, quelle con le formule, le espressioni della 4-velocità sono scambiate tra loro, mi pare. E un errore comunque scrivere la 4-velocità come:

$u =(c,v)$

perché manca il fattore $gamma$, costante o variabile che sia. Lo ripeto per l’ultima volta. Ho fatto molte ripetizioni, è vero, ma repetita iuvant .

[sgrisolo]

Riedito un attimo perche scrivendo ho capito lamagagna, forse

[Shackle]

Riedito un attimo perche scrivendo ho capito lamagagna, forse

Allora rimedita e poi riedita. Ma la magagna non è tutta tua.

[sgrisolo]

Ciao

Ci ho messo un po' a rispondere perché ci ho ragionato sopra tutta mattina cercando di prendere spunti da più dispense possibili e cercare di capire l'inghippo (ho letto galgani, lo stesso prof ce le ha linkate, tuttavia devo capire quel che intende il professore poiché sarà lui a interrogarmi, e quello sono le sue dispense ).

Potrebbe essere che il punto dell'incomprensione sia solo un fatto di "Nomenclatura": mi pare di capire che, quando scrivi la quadrivelocità per l'osservatore comovente (V) che si trova seduto sul punto materiale osservato muoversi dall'OI, scrivi giustamente il trivettore (la velocità vettoriale) nulla. Quindi il quadrivettore sarà (c,0,0,0).

Riprendendo il Prof, lui intende con parametrizzazione per tempo proprio quella che si ottiene calcolando la lunghezza d'arco e dividendola per c (ovviamente sarà un invariante, cioè il tempo proprio è unico per tutti), poiché è quella che si ricava dalla metrica di Minkowski. Forse questo è il punto, con questa parametrizzazione per lunghezza d'arco la componente del tri-vettore quadrivelocità (la velocità vetoriale, insomma) non è nulla sempre.

Ogni osservatore può usare per descrivere ilfenomeno due tempi: il tempo proprio (che è uguale per ogni sistema di riferimento, come detto) e il tempo relativo (che varia a seconda di chi è l'osservatore)

Se ora l'osservatore V volesse descrivere il moto secondo il suo punto di vista esso avrà tempo proprio e tempo relativo che coincidono, la quadrivelocità sarà quindi: $U=(c,0,0,0)$ questo sì.

C'è però l'OI che può descrivere il moto dal suo punto di vista e potrà farlo con due quadrivettori diversi dati dalla parametrizzazione scelta da lui: 1) con il tempo proprio del suo sistema: $U=(c,v^1,v^2,v^3))$ oppue può sfruttare il tempo proprio che tanto è invariante essendo lalunghezza d'arcodiviso c: $U=(c\gamma,\vecv\gamma)$

Tu invece mi pare stessi facendo un passaggio tra i due sistemi V e OI però sfruttando il tempo relativo di entrambi.

Ad aggiunta riguardo il discorso anche wiki.en mi pare confermarlo qui:

https://en.wikipedia.org/wiki/Four-velo ... r-velocity

Ove dice: "and for the other 3 components to proper time we get the Uμ velocity component for μ = 1, 2, 3" ricava esattamente laquadrupla del tempo proprio indicata dalle dispense $u = (gammac, gamma\vecv) $ (per il tempo proprio).
Il quadrivettore con tempo proprio non ha tre componenti nulle sempre, dipende dal sistema di riferimento che sta sfruttando quel tempo (parametrizzazione) per descrivere la quadrivelocità che lui "vede".

Spero di non aver preso un granchio, però mi sembra tornare

[Shackle]

Ciao

..ho letto galgani, lo stesso prof ce le ha linkate, tuttavia devo capire quel che intende il professore poiché sarà lui a interrogarmi, e quello sono le sue dispense ).

Quando dico Galgani, mi riferisco a questo :

http://www.mat.unimi.it/users/galgani/M ... tivita.pdf

ho scorso rapidamente tutta la dispensa, che conoscevo, ma non mi sembra di aver visto quello che hai pubblicato. In questa dispensa, sono interessanti, per la questione in oggetto, le pagine da 328 (p.4) a 342, leggile se ti va.

...mi pare di capire che, quando scrivi la quadrivelocità per l'osservatore comovente (V) che si trova seduto sul punto materiale osservato muoversi dall'OI, scrivi giustamente il trivettore (la velocità vettoriale) nulla. Quindi il quadrivettore sarà (c,0,0,0).

E sí, è ciò che ho detto, e confermo. Questa è la 4-velocità ne riferimento di quiete di V .

Riprendendo il Prof, lui intende con parametrizzazione per tempo proprio quella che si ottiene calcolando la lunghezza d'arco e dividendola per c (ovviamente sarà un invariante, cioè il tempo proprio è unico per tutti), poiché è quella che si ricava dalla metrica di Minkowski. Forse questo è il punto, con questa parametrizzazione per lunghezza d'arco la componente del tri-vettore quadrivelocità (la velocità vetoriale, insomma) non è nulla sempre.

Qui occorre capire che cosa significa "parametrizzare una linea di universo col tempo proprio”. Copio e incollo alcune pagine della stessa dispensa di Galgani , da cui risulta in poche parole questo : data una linea qualsiasi di universo nello ST , la lunghezza di questa curva (opportunamente definita a partire dalla metrica : $ds^2 = g_(munu)dx^\mudx^\nu$, non entro in dettagli) non dipende dall’ osservatore. E quindi, siccome $ds = cd\tau$ , la lunghezza dell’arco $s$ si può assumere come parametro per definire la curva, e chiamarla “tempo proprio”, a meno della velocità $c$ che è una costante inessenziale :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

quanto sopra vale non solo se la metrica è quella piatta di Minkowski , che si assume in RR.
Però bisogna stare attenti a una cosa. Se abbiamo due eventi A e B nello spaziotempo comunque curvo, che possono essere connessi da più linee di tipo tempo, NON È VERO che il “tempo proprio da A a B è uguale per tutti”, dipende dalla particolare linea che si segue per andare da A a B ! Anzi si dimostra che il tempo proprio del percorso geodetico, cioè inerziale in RR, tra i due eventi è il maggiore di tutti i percorsi che si possono tracciare tra i due eventi. MA questa è storia diversa.

Ogni osservatore può usare per descrivere ilfenomeno due tempi: il tempo proprio (che è uguale per ogni sistema di riferimento, come detto) e il tempo relativo (che varia a seconda di chi è l'osservatore)

No. Ogni osservatore ha il proprio regolo per misurare le lunghezze, e il proprio orologio per misurare i tempi. Dati sempre i due eventi A e B, connessi da una linea geodetica di tipo tempo anche nel semplice ST piatto di Minkowski, (sarà un segmento di retta), osservatori inerziali diversi misurano tempi diversi, dipendenti dalla velocità rispetto a quel particolare osservatore inerziale (il viaggiatore V) che si sposta a velocità costante da A a B.
Il viaggiatore V misura il tempo proprio col suo orologio da polso. Un altro OI misura col suo orologio il tempo coordinato che V impiega per andare da A a B. Differenti OI, in diverso stato di moto, misurano tempi coordinati diversi. Tra tempo proprio e tempo coordinato c’è la relazione già vista : $dt = gammad\tau$ , che dipende da $gamma$ e quindi dalla velocità di V rispetto ad OI .

Se ora l'osservatore V volesse descrivere il moto secondo il suo punto di vista esso avrà tempo proprio e tempo relativo che coincidono, la quadrivelocità sarà quindi: $U=(c,0,0,0)$ questo sì.

A me non piace parlare di tempo proprio e tempo relativo. Basta il primo. Comunque ok per la 4-velocità.

C'è però l'OI che può descrivere il moto dal suo punto di vista e potrà farlo con due quadrivettori diversi dati dalla parametrizzazione scelta da lui: 1) con il tempo proprio del suo sistema: $U=(c,v^1,v^2,v^3))$ oppue può sfruttare il tempo proprio che tanto è invariante essendo lalunghezza d'arcodiviso c: $U=(c\gamma,\vecv\gamma)$

MA no! C’è una bella confusione in quello che dici. OI descrive il moto di V , con il proprio regolo e il proprio orologio, il quale misura il tempo coordinato tra partenza e arrivo di V , da A verso B. Il tempo proprio del viaggiatore V , misurato tra gli eventi A e B, è minore del tempo coordinato misurato da OI tra gli stessi eventi, e questo per la relazione differenziale prima vista. La 4- velocità è un solo 4-vettore, e non è $U=(c,v^1,v^2,v^3))$

Tu invece mi pare stessi facendo un passaggio tra i due sistemi V e OI però sfruttando il tempo relativo di entrambi.

Che vuol dire ? Non capisco.

Ad aggiunta riguardo il discorso anche wiki.en mi pare confermarlo qui:

https://en.wikipedia.org/wiki/Four-velo ... r-velocity

Ove dice: "and for the other 3 components to proper time we get the Uμ velocity component for μ = 1, 2, 3" ricava esattamente laquadrupla del tempo proprio indicata dalle dispense $u = (gammac, gamma\vecv) $ (per il tempo proprio).

Hai letto bene l’articolo di Wikipedia sulla 4-velocità ? Questa : $u = (gammac, gamma\vecv) $ non è la quadrupla del tempo proprio.

Il quadrivettore con tempo proprio non ha tre componenti nulle sempre, dipende dal sistema di riferimento che sta sfruttando quel tempo (parametrizzazione) per descrivere la quadrivelocità che lui "vede".

No. Dato il riferimento OI coordinato, rispetto al quale il viaggiatore V si muove con una certa velocità $v$= costante, esiste una 4-velocità di V rispetto ad OI, data da $ U = (gammac, gammavecv)$. Se cambia il riferimento inerziale di quiete, cambieranno anche le componenti della 4-velocità , perchè con un altro valore di $v$ hai un altro $gamma$ , quindi in definitiva le componenti temporale e spaziale del 4-vettore saranno diverse per OI diversi. Ma essa è invariante per trasformazioni di Lorentz tra riferimenti inerziali diversi, la sua norma vale sempre $c$. Insomma succede come per i tri-vettori quando cambi il riferimento cartesiano : il vettore rimane lo stesso, cambiano le componenti.
Leggiti pure i paragrafi 7.4.1 e 7.4.2 di queste lezioni di David Tong :

https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/r ... /seven.pdf

[sgrisolo]

Mi spiace averti fatto rileggere le dispense alla ricerca della parte indicata, in realtà intendevo dire che anche il prof ce ne ha parlato come utile supplemento alla lettura delle sue (a indicarne la bontà). Era solo un "ah si le avevo già leggiucchiate.

Ho fatto un errore di esposizione tanto per intrecciare ancora di più il problema, lo correggo in grassetto:

C'è però l'OI che può descrivere il moto dal suo punto di vista e potrà farlo con due quadrimpulsi diversi dati dalla parametrizzazione scelta da lui: 1) con il tempo relativo del suo sistema: $U=(c,v^1,v^2,v^3))$ oppue può sfruttare il tempo proprio che tanto è invariante essendo lalunghezza d'arcodiviso c: $U=(c\gamma,\vecv\gamma)$

MA no! C’è una bella confusione in quello che dici

Il fatto che secondo me c'è un problema di nomenclatura, perché sono abbastanza sicuro che il prof intenda con tempo proprio il poter parametrizzare con la lunghezza d'arco in formula delle foto che ho caricato (primo post) diviso il valore c.



In questo modo trovo una invariante e questo $\tildetau$ posso usarlo per parametrizzare i fenomeni che voglio in qualunque sistema di riferimento io sia piazzato (non solo per il "sistema di riferimento proprio"); c'è poi il tempo relativo che invece parametrizza i fenomeni occorsi in modi diversi a seconda che il sistema di riferimento sia inerziale in un qualche altro tipo di moto ecc..

Infatti a un certo punto delle pagine si legge: "In questo senso, anche se per un moto che non sia rettilineo uniforme non esiste un osservatore inerziale solidale con il punto materiale, il tempo proprio definito dall’ascissa pseudoeuclidea coincide in ogni istante con il tempo relativo di un osservatore per il quale il punto materiale ha velocità nulla."

(si parla di far coincidere i due tempi parametrizzanti: tempo proprio -invariante- e relativo)

Cioè il tempo proprio, sempre uguale in ogni sistema di riferimento, coincide con il tempo proprio misurato dall'osservatore seduto sul punto materiale non inerziale.
In questo caso "tempo proprio" coincide con "tempo relativo", ma avviene solo nelsistema di riferimento particella. Mi sembra nomenclatura però trovo corretto che ogni osservatore può usare due tempi per descrivere ogni fenomeno: può usare il tempo che legge sul suo orologio (tempo relativo), oppure calcola la lunghezza d'arco (invariante relativistica) e la divide per c: ecco qui il tempo proprio del mio prof. Tempo proprio e relativo coincidono per un solo osservatore: quel sistema che è sulla particella che descrive la lunghezza d'arco.

Ho letto la pagina di wiki (non ti assicuro di averla capita altrimenti non sarei qui a cercare di apprendere le tue parole), però nel paragrafo: https://en.wikipedia.org/wiki/Four-velo ... r-velocity

Mi sembra che l'idea di fondo sia:

Prendiamo un osservatore qualunque (facciamo quello inerziale per fissare un esempio) che descrive il moto di un punto.

1) L'osservatore decide di parametrizzare per lunghezza d'arco (il prof chiama tempo proprio, ma lasciamo perdere questa nomenclatura che ci confonde) mi sembra che le componenti che trova derivando per il tempo proprio $\tildetau$, sono le componenti del quadrimpulso descritto con il tempo lunghezza d'arco.

$(dx^i)/(dt)(dt)/(d\tildetau)=(dx^i)/(dt)\gamma=u^i\gamma$

2) Il medesimo osservatore prendendo lo stesso quadrivettore iniziale può derivare ora le sue componenti rispetto al tempo relativo descrivendo lo stesso fenomeno: questa volta rispetto a $t$ (tempo relativo) ottenendo un secondo quadrimpulso che descrive il fenomeno, ma questa volta con tempo proprio.

$(dx^i)/(dt)=u^i$

Si nota quindi il legame tra le due descrizioni del quadrimpulso effettuate con due parametrizzazioni diverse:

1) per lunghezza d'arco/c cioè $\tildetau$ come parametro abbiamo, come scritto, componenti: $\gammau^i$ peril quadrimpulso.

2) per il parametro t, invece, il quadrimpulso avrà componenti: $u^i$

Ecco che gamma mi permette di descrivere il passaggio tra i due tipi di parametrizzazioni per un unico fenomeno visto da OI. Cioè OI può descrivere in due modi il quadrimpulso con i due tempi (parametri) indicati.


grazie per l'aiuto, spero avrai voglia di leggermi ancora

[Shackle]

Cominciamo a fare una scrematura delle cose dette, perchè su alcune sono d’accordo, su altre un po’ meno (ma forse è questione di punti di vista, oppure devo imparare qualcosa di nuovo anch’io, nessuno è nato “imparato” a questo mondo! ). E poi, l’importante è capirsi, giusto?


[quote="sgrisolo”].....

C'è però l'OI che può descrivere il moto dal suo punto di vista e potrà farlo con due quadrimpulsi diversi dati dalla parametrizzazione scelta da lui: 1) con il tempo relativo del suo sistema: $U=(c,v^1,v^2,v^3))$ oppue può sfruttare il tempo proprio che tanto è invariante essendo lalunghezza d'arcodiviso c: $U=(c\gamma,\vecv\gamma)$

MA no! C’è una bella confusione in quello che dici

Il fatto che il moto del punto mobile (che abbiamo battezzato V= viaggiatore) rispetto ad $ OI(x,t) $ possa essere descritto con due 4-velocità diverse, dallo stesso OI, a seconda della parametrizzazione scelta non mi trova d’accordo. Quindi il discorso che hai riportato sopra come citazione non mi va. Ma potrei sbagliarmi, è chiaro! Non ho mai sentito una cosa del genere.
Ho fatto un disegnino che allego :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

nel quale ho riportato la 4-velocità $barU$ di V nel riferimento $ OI(x,t) $ . LE componenti sui due assi sono rispettivamente : $gammac$ sull’asse dei tempi, e $gammav$ sull’asse spaziale. La norma (quadra) di $barU$ è data (spaziotempo piatto, metrica di Minkowski, geometria iperbolica ecc ecc : conosci ben tutte le ipotesi al riguardo) :

$U^2 = (gammac)^2 - (gammav)^2 = gamma^2 (c^2-v^2) = c^2/(c^2-v^2) * (c^2-v^2) = c^2 $

ho tracciato anche il ramo dell' iperbole di calibrazione, che interseca l’asse dei tempi nel punto $c$ : questa è la norma della 4-velocità, che rappresenta anche la 4-velocità nel riferimento proprio di V . Insomma, nello spaziotempo piatto della RR viaggiamo tutti alla velocità della luce, possiamo metterla cosi! Ma se ci spostiamo nello spazio, quello che si guadagna in spazio si perde in tempo ( questa affermazione, che ho letto talvolta in libri divulgativi , va però presa con le molle....e le molle sono la geometria pseudoeuclidea, ovvero iperbolica, che ha inventato Minkowski) .

Se abbiamo un altro OI’ ( ho aggiunto un apice per distinguerlo da OI ) dotato di coordinate: $OI’(x’,t’)$ , la 4-velocità di V prima detta ha componenti temporale e spaziale diverse da quelle relative ad OI , come ho accennato sul disegno. Per ricavarle, la strada maestra è far ricorso alle trasformazioni di Lorentz. Oppure si può trovare la velocità di V ( 3Dim. ) rispetto ad OI’ mediante composizione relativistica ; non faccio nessuna delle due cose, perchè non è questo il punto che ci interessa.

Dunque, io non sono d’accordo su quanto hai riportato nella citazione in alto. MA ripeto, forse devo imparare qualcosa di nuovo anch’io; quella storia però non l’ho mai trovata da nessuna parte.

Il fatto che secondo me c'è un problema di nomenclatura, perché sono abbastanza sicuro che il prof intenda con tempo proprio il poter parametrizzare con la lunghezza d'arco in formula delle foto che ho caricato (primo post) diviso il valore c.

Su questo siamo d’accordo! La parametrizzazione più semplice che si possa fare per trovare la lunghezza di una curva è quella con la lunghezza d’arco. Se quindi dividi la lunghezza d’arco per $c$ , e chiami “tempo proprio” questa quantità, non ho alcuna obiezione da fare. Perciò, se la nostra divergenza di opinioni verte su questo punto, ti dico subito che la divergenza non c’è . Nelle pagine del prof che ho riportato prima c’è questa immagine:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

su cui sono assolutamente d’accordo.

In questo modo trovo una invariante e questo $\tildetau$ posso usarlo per parametrizzare i fenomeni che voglio in qualunque sistema di riferimento io sia piazzato (non solo per il "sistema di riferimento proprio"); c'è poi il tempo relativo che invece parametrizza i fenomeni occorsi in modi diversi a seconda che il sistema di riferimento sia inerziale in un qualche altro tipo di moto ecc.

Infatti a un certo punto delle pagine si legge: "In questo senso, anche se per un moto che non sia rettilineo uniforme non esiste un osservatore inerziale solidale con il punto materiale, il tempo proprio definito dall’ascissa pseudoeuclidea coincide in ogni istante con il tempo relativo di un osservatore per il quale il punto materiale ha velocità nulla."

Ripeto : sono perplesso su questa interpretazione. Io conosco solo il tempo proprio, che è misurato da V, il quale segue la linea di universo data, col proprio orologio da polso ; e il tempo coordinato , che è il tempo $t$ della prima figura che ho fatto , cioè è quello che OI misura col suo orologio per gli spostamenti di V ; ed è anche chiaro che per OI diversi ( vedi ad es OI’ ) il tempo coordinato è diverso.

Di questo tempo “relativo” non ho mai sentito parlare, e mi sembra che renda un po’ nebulosa la questione. Già far capire agli studenti (e ai dilettanti come me... ) che il tempo proprio differisce dal tempo coordinato misurato dall’OI rispetto al quale V si muove con data velocità è difficile. Perchè introdurre anche il “tempo relativo” ?

Cioè il tempo proprio, sempre uguale in ogni sistema di riferimento, coincide con il tempo proprio misurato dall'osservatore seduto sul punto materiale non inerziale.
In questo caso "tempo proprio" coincide con "tempo relativo", ma avviene solo nelsistema di riferimento particella. Mi sembra nomenclatura però trovo corretto che ogni osservatore può usare due tempi per descrivere ogni fenomeno: può usare il tempo che legge sul suo orologio (tempo relativo), oppure calcola la lunghezza d'arco (invariante relativistica) e la divide per c: ecco qui il tempo proprio del mio prof. Tempo proprio e relativo coincidono per un solo osservatore: quel sistema che è sulla particella che descrive la lunghezza d'arco.

Si, ho capito il ragionamento, ma mi sembra superfluo. Per me, bastano i due tempi che ho detto e ripetuto fino alla noia. Magari il tuo prof mi boccerebbe perchè non accetto questa complicazione, ma l’esame non devo farlo io, devi farlo tu.... (io scherzo ogni tanto! )

Ho letto la pagina di wiki....
grazie per l'aiuto, spero avrai voglia di leggermi ancora

Sulla 4-velocità , che poi diventa 4-impulso moltiplicando per la massa invariante $m$ , ho già detto prima.

Aggiungo solo questo : per trovare la 4-velocità in una maniera che sia indipendente dall’ OI di riferimento, devi necessariamente derivare le 4 coordinate spazio- temporali rispetto al tempo proprio $\tau$ , e cioè :

$ u^\alpha = (dx^\alpha)/(d\tau) = (dx^\alpha)/(dt)*(dt)/(d\tau) = gamma (dx^\alpha)/(dt) $

e quindi , per $alpha =0$ hai la componente temporale $gammac$ , per $alpha = 1,2,3 $ hai le tre componenti spaziali $gammav^i$ ( i = 1,2,3 sono gli indici spaziali) . Se il moto è unidimensionale, hai solo la componente spaziale $x$ .

Non leggo tutto quello che hai scritto tu, nella voce di Wikipedia. Bisogna fare i giocolieri alla maniera prima detta ( tempo proprio...tempo relativo...ecc), su cui non sono d’accordo.

Mi pare però che il tuo post iniziale dicesse che stavi sbattendo la testa perchè non ti ritrovavi su qualcosa...E credo che lo sbattimento di testa derivi proprio dalle interpretazioni elaborate che hai incontrato.

Leggo sempre con piacere dei post sulla relatività, quindi non preoccuparti, replica pure.