Calcolo di probabilità che un evento si verifichi una volta in n tentativi

[LudoMCM]

Buonasera a tutti scusate il disturbo, non dovrebbe essere qualcosa di complesso, ma non studiando statistica non riesco a trovare la soluzione a un problema di calcolo di probabilità.

Mi trovo in questa situazione: Ho una probabilità di 1/8192 di pescare una pallina bianca da un sacco pieno di palline e, rimescolando le palline nel sacco dopo ogni estrazione, voglio calcolare la probabilità di pescare la pallina bianca avendo la possibilità di effettuare n estrazioni.
(ESEMPIO: Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca avendo la possibilità di effettuare 600 estrazioni)

Da quel (poco) che mi ricordo degli studi liceali, ho provato a utilizzare la formula di distribuzione binomiale di Bernoulli, da cui:

$ P(X)= (n!)/(k!(n-k)!)*p^k*(1-p)^(n-k) $

Ponendo k=1 (numero di volte che l'evento deve verificarsi) e p=1/8192 (probabilità che l'evento si verifichi), ottengo:

$ P(1)= n*p*(1-p)^(n-1) $

Tuttavia, facendo scorrere n ottengo che:
Per $ 1 <= n <= 8192 $ , la probabilità aumenta correttamente all'incrementare di n: arrivo ad avere il 36.7% di probabilità di pescare una pallina bianca con 8192 estrazioni.
per $ n > 8192 $ , la probabilità ricomincia a scendere: facendo scorrere n ottengo una sorta di grafico a "campana" con un massimo a n=8192, superato questo valore la probabilità torna a scendere.

Ciò non è assolutamente quello che mi aspetto, perciò l'unica cosa che mi viene in mente è che ho sbagliato formula. Mi aspetto infatti che all'aumentare di n aumenti di conseguenza anche la probabilità di pescare la pallina bianca, con magari piccoli incrementi di probabilità per n molto grandi. (Non so se sia corretto parlare di limite per $ n -> oo $ , ma mi aspetto che tanto più incrementa n, tanto più mi avvicino a un valore pari a 1)

Per ora sono riuscito a calcolare esclusivamente la probabilità di pescare ALMENO una pallina bianca in n tentativi, utilizzando la formula di distribuzione di Poisson (ditemi se è corretta):

$ P(X>=1)= 1 - P(X=0) $ , con $ P(X=0)= e^(-np) $

Se avete una soluzione per calcolare la probabilità di pescare ESATTAMENTE una pallina bianca in n tentativi, ve ne sarei grato, vi ringrazio per l'attenzione.

[ghira]

Mi trovo in questa situazione:

Davvero? Hai un sacco con 8192 palline? Quanto pesa? Rimescolare 8192 palline per bene ripetutamente deve essere faticoso.
Rischi seriamente di compromettere l'indipendenza delle estrazioni.

Comunque...

Ho una probabilità di 1/8192 di pescare una pallina bianca da un sacco pieno di palline e, rimescolando le palline nel sacco dopo ogni estrazione, voglio calcolare la probabilità di pescare la pallina bianca avendo la possibilità di effettuare n estrazioni.

$1-(\frac{8191}{8192})^n$

Se avete una soluzione per calcolare la probabilità di pescare ESATTAMENTE una pallina bianca in n tentativi, ve ne sarei grato, vi ringrazio per l'attenzione.

Questa l'hai detta tu prima.

$n\frac{1}{8192}(\frac{8191}{8192})^{n-1}$

[LudoMCM]

1−(81918192)n

Questa formula è equivalente a quella di Poisson, e permette di calcolare la probabilità che si peschi ALMENO una pallina bianca (non è quello che mi serve)

n18192(81918192)n−1

Questa l'ho detta io è vero, ma ho anche spiegato che c'è qualcosa che non mi quadra poiché per $ n>8192 $ la probabilità torna a scendere. Disegnando la curva della funzione otterrei una sorta di grafico a campana con un massimo a 8192 e non è quello che mi aspetto. Poi se invece è corretta se potresti spiegarmi il perché te ne sarei grato.

[ghira]

$1−(\frac{8191}{8192})^n$

Questa formula è equivalente a quella di Poisson, e permette di calcolare la probabilità che si peschi ALMENO una pallina bianca (non è quello che mi serve)

È la probabilità di non trovare 0 palline bianche. Se non è questo che ti serve, puoi spiegare cosa stai cercando di ottenere?

$n\frac{1}{8192}(\frac{8191}{8192})^{n−1}$

Questa l'ho detta io è vero, ma ho anche spiegato che c'è qualcosa che non mi quadra poiché per $ n>8192 $ la probabilità torna a scendere. Disegnando la curva della funzione otterrei una sorta di grafico a campana con un massimo a 8192 e non è quello che mi aspetto. Poi se invece è corretta se potresti spiegarmi il perché te ne sarei grato.

Certo che torna a scendere. La probabilità di trovare esattamente una pallina bianca in 10 mila miliardi di tentativi è molto molto bassa. Cosa ti aspettavi?