Convergenza di serie numeriche

[amalia.caggiano]

Buonasera a tutti,
sto risolvendo degli esercizi per stabilire se alcune serie numeriche sono convergenti e in caso affermativo ne dovrò calcolare la somma.
Sono due giorni che provo a risolverne due senza riuscire nell'intento
1)\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{\infty}\bigg(3-3\cos\bigg(\frac{n^2}{n^4+4}\bigg)\bigg)
\end{equation*}
2)\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(4n)^{2n}}{\binom{4n}{2n}}
\end{equation*}

La prima dovrebbe convergere a zero, ho fatto il limite del termine generico che va a zero ma questo non mi assicura la convergenza. Per quanto riguarda la seconda dovrebbe divergere, infatti il termine generico della successione tende ad infinito, ma non riesco a dimostrarlo.
Spero che qualcuno potrà darmi una mano.
Vi auguro una buona serata
Amalia

[solaàl]

Per la prima, a cosa è asintotico \(\cos t\) intorno a $0$?

Per la seconda, rapporto o radice? Nel secondo caso devi stimare \(\sqrt{\binom{2m}{m}}\), Stirling e passa la paura.

[pilloeffe]

Ciao amalia.caggiano,

sto risolvendo degli esercizi per stabilire se alcune serie numeriche sono convergenti e in caso affermativo ne dovrò calcolare la somma.

La seconda serie proposta non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ per cui, essendo a termini positivi, è necessariamente positivamente divergente.
La prima invece è convergente, ma sei sicura di doverne determinare la somma?
Puoi determinarne una stima osservando che $\AA x \in \RR $ si ha $1 - cos x <= x^2 $ ove nel caso proposto $x := n^2/(n^4 + 4) > 0 $

[amalia.caggiano]

Ciao amalia.caggiano,

sto risolvendo degli esercizi per stabilire se alcune serie numeriche sono convergenti e in caso affermativo ne dovrò calcolare la somma.

La seconda serie proposta non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ per cui, essendo a termini positivi, è necessariamente positivamente divergente.
La prima invece è convergente, ma sei sicura di doverne determinare la somma?
Puoi determinarne una stima osservando che $\AA x \in \RR $ si ha $1 - cos x <= x^2 $ ove nel caso proposto $x := n^2/(n^4 + 4) > 0 $

La seconda serie non converge perchè il termine generico tende a infinito. E' questo limite che non riesco a risolvere, mi aiuteresti?
Per quanto riguarda la prima come dimostro che converge? E poi l'esercizio mi chiede di determinarne la somma, se è possibile.

[amalia.caggiano]

Per la prima, a cosa è asintotico \(\cos t\) intorno a $0$?

Per la seconda, rapporto o radice? Nel secondo caso devi stimare \(\sqrt{\binom{2m}{m}}\), Stirling e passa la paura.

Non riesco a seguirti

[pilloeffe]

Per quanto riguarda la prima come dimostro che converge?

Farei così:

$ \sum_{n=0}^{+\infty} (3-3cos(\frac{n^2}{n^4+4})) = 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (1-cos(\frac{n^2}{n^4+4})) <= 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n^2}{n^4+4})^2 <= $
$ <= 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n^2}{n^4})^2 = 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4} = 3 \cdot \pi^4/90 = \pi^4/30 $

[solaàl]

Per la prima, a cosa è asintotico \(\cos t\) intorno a $0$?

Per la seconda, rapporto o radice? Nel secondo caso devi stimare \(\sqrt{\binom{2m}{m}}\), Stirling e passa la paura.

Non riesco a seguirti

Cosa preferisci usare, il criterio del rapporto o quello della radice?

[pilloeffe]

Cosa preferisci usare, il criterio del rapporto o quello della radice?

Decisamente più comodo il criterio del rapporto...

[solaàl]

Eh, ma se dici chi è l'assassino a pagina 4...

[amalia.caggiano]

Per quanto riguarda la prima come dimostro che converge?

Farei così:

$ \sum_{n=0}^{+\infty} (3-3cos(\frac{n^2}{n^4+4})) = 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (1-cos(\frac{n^2}{n^4+4})) <= 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n^2}{n^4+4})^2 <= $
$ <= 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{n^2}{n^4})^2 = 3 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4} = 3 \cdot \pi^4/90 = \pi^4/30 $

grazie mille, ora è tutto più chiaro.