Limite di un integrale parametrico

Messaggioda Bianco17 » 16/02/2020, 17:46

Il testo (tradotto) del problema dice:
Sia \[ I(a)= \int_0^\frac{\pi}{4} e^x \text{tan}^a x\ \text{d} x \] Si calcoli \[ \lim_{a \to \infty} aI(a) \]

Ho trovato questo problema nel libro ADVANCED CALCULUS PROBLEM. Viene proposto tra gli esercizi del capitolo sulle tecniche di integrazione più comuni e semplici ma né con queste né con altre più avanzate riesco a venirne a capo... Qualcuno ha qualche idea?
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Re: Limite di un integrale parametrico

Messaggioda Bianco17 » 22/02/2020, 08:45

Dopo svariati tentativi ho trovato che il tutto stava nell'azzeccare la giusta sostituzione di variabile. Posto infatti \( \text{tan}^a x = e^u \), conviene esplicitare \[ x=\text{atan}\ e^\frac{u}{a} \] con il differenziale \[ \text{d}x=\frac{1}{a}\frac{e^\frac{u}{a}}{1+e^\frac{2u}{a}} \text{d}u \] Sostituendo nell'integrale, si ottiene \[ I(a)=\frac{1}{a}\int_{-\infty}^0 \frac{e^{\text{atan}\ e^\frac{u}{a}} e^{(1+\frac{1}{a})u}}{1+e^\frac{2u}{a}} \text{d}u\] Ora passando al limite, possiamo portarlo sotto il segno di integrale grazie alla convergenza uniforme dell'integranda \[ \lim_{a \to \infty} aI(a) = \int_{-\infty}^0 \lim_{a \to \infty} \frac{e^{\text{atan}\ e^\frac{u}{a}} e^{(1+\frac{1}{a})u}}{1+e^\frac{2u}{a}} \text{d}u =\int_{-\infty}^0 \frac{e^\frac{\pi}{4}}{2} e^u \text{d}u \] che è un integrale di facilissima valutazione fortunatamente. Quindi il risultato dell'esercizio è (finalmente :P) \[ \lim_{a\to \infty} aI(a) = \frac{e^\frac{\pi}{4}}{2}\]
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Re: Limite di un integrale parametrico

Messaggioda Rigel » 29/02/2020, 19:00

Per vedere meglio l'integrale si può fare il cambio di variabile $y = \tan(x)$, in modo tale che
\[
a I(a) = \int_0^1 e^{\arctan(y)} \frac{a y^a}{1+y^2}\, dy.
\]
Per $a \to +\infty$ la funzione integranda converge uniformemente a $0$ in $[0, 1-\varepsilon]$, per ogni
$\varepsilon \in (0,1)$. Di fatto, quindi, ti interessa solo il contributo in $[1-\varepsilon, 1]$

Di conseguenza, puoi dimostrare che (perdonami se non metto tutti gli $\varepsilon$ e i $\delta$ del caso)
\[
\lim_{a \to +\infty} a I(a) = \frac{e^{\pi/4}}{2} \lim_{a\to +\infty} \int_0^1 a y^a\, dy = \frac{e^{\pi/4}}{2}\,.
\]
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Re: Limite di un integrale parametrico

Messaggioda cloudy4444 » 01/03/2020, 02:25

@rigel ho ragionato esattamente come hai fatto tu però non so dimostrare che:
$ lim_(a -> +oo) lim_(epsilon -> 0) int_(1-epsilon)^(1) ax^a dx =1$
Quell'integrale sembra andare come
$lim_(a -> +oo)int_(o)^(1) adelta(x-1)dx $
Ma non so dimostrare che sia così nè che quel limite sia 1. Idee?
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Re: Limite di un integrale parametrico

Messaggioda Rigel » 01/03/2020, 08:05

Non basta calcolare esplicitamente l'integrale?
\[
\int_{1-\varepsilon}^1 a\, x^a\, dx = \frac{a}{1+a} \left[1-(1-\varepsilon)^{1+a}\right].
\]
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Re: Limite di un integrale parametrico

Messaggioda cloudy4444 » 01/03/2020, 12:07

@rigel Si ma poi ho un limite in due variabili
$lim_(a -> +oo) lim_(epsilon -> 0) a/(1+a) [1-(1-epsilon)^(a+1)] $
che non so come calcolare..
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Re: Limite di un integrale parametrico

Messaggioda Rigel » 01/03/2020, 19:37

Indichiamo con
\[
f_a(y) := \frac{e^{\arctan y}}{1+y^2} \, a y^a
\]
la funzione integranda ottenuta dopo il cambio di variabile $y = \tan(x)$.
Vogliamo dimostrare che $\lim_{a\to +\infty} \int_0^1 f_a(y)\, dy = \frac{1}{2} e^{\pi/4}$.

Fissato $\epsilon \in (0,1)$, esiste $\delta \in (0, 1)$ tale che
\[
\frac{1}{2} e^{\pi/4} - \frac{1}{2} e^{\arctan(1-\delta)} < \epsilon,
\qquad
\frac{1}{1 + (1-\delta)^2} e^{\pi/4} - \frac{1}{2} e^{\pi/4} < \epsilon.
\]
Inoltre, per la convergenza uniforme di $f_a$ a $0$ nell'intervallo $[0, 1-\delta]$ e per la convergenza di $(1-\delta)^{1+a}$ a $0$,, esiste $a_0 > 0$ tale che
\[
0 < \int_0^{1-\delta} f_a(y)\, dy < \epsilon,
\quad
1-\epsilon < \frac{a}{a+1}[1-(1-\delta)^{1+a} ]< 1,
\qquad \forall a > a_0.
\]
Poiché
\[
\frac{1}{2} e^{\arctan(1-\delta)} \frac{a}{a+1}[1-(1-\delta)^{1+a}] \leq
\int_{1-\delta}^1 f_a(y)\, dy
\leq
\frac{1}{1 + (1-\delta)^2} e^{\pi/4}\,
\frac{a}{a+1}[1-(1-\delta)^{1+a}],
\]
dalle maggiorazioni precedenti si ottiene
\[
(1-\epsilon)\left[\frac{e^{\pi/4}}{2} - \epsilon\right]
\leq
(1-\epsilon)\frac{e^{\arctan(1-\delta)}}{2} \leq
\int_{1-\delta}^1 f_a(y)\, dy
\leq
\frac{e^{\pi/4}}{1 + (1-\delta)^2} < \frac{e^{\pi/4}}{2} + \epsilon.
\]
In definitiva
\[
(1-\epsilon)\left[\frac{e^{\pi/4}}{2} - \epsilon\right]
\leq
\int_0^1 f_a(y)\, dy
\leq
\frac{e^{\pi/4}}{2} + 2\epsilon.
\]
Poiché queste maggiorazioni valgono per ogni $\epsilon \in (0,1)$, segue la tesi.
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