Ciao a tutti! Sto provando a svolgere il seguente esercizio:
Si consideri l'operazione definita da $ x** y=x+y+3 $ . Dimostrare che $ (Z,**) $ è un gruppo, esibire l'elemento neutro e l'elemnto inverso. Dare almeno un esempio di sottogruppo di $ (Z,**) $. Si tratta di un sottogruppo normale? Si tratta di un sottogruppo ciclico? Giustificare le risposte.
Allora se non sbaglio l'elemento neutro è -3. Infatti $ -3**y=-3+y+3=y $ . L'elemento inverso è -6-y, infatti $ (-6-y)**y=-6-y+y+3=-3 $ .
Prer quanto riguarda un sottogruppo, va bene prendere $ (Z,+) $ ? Perchè rispetta la chiusura: $ a+bin (Z,+), AA a,bin (Z,+) $ ; identità: $ 1Gin(Z,+) $ ; inverso: $ a^(-1)in(Z,+),AAain(Z,+) $ .
Poi, per il criterio di normalità si ha che (Z,+) è normale se e solo se $ ghg^(-1)in(Z,+),AAgin(Z,**),AAhin(Z,+) $ . Quindi in questo caso il sottogruppo è normale.
Fin qui è giusto? Dopodichè come faccio a dire se si tratta di un sottogruppo ciclico?