3m0o ha scritto:Detto ciò se non ti esce immediato vedere quel integrale potresti anche effettuare una sostituzione \( y = e^x \) e inoltre \( dy = e^xdx \) e forse è leggermente più facile vedere questo integrale.
\[ \int \frac{\tan(y)}{\cos^2(y)}dy = \frac{1}{2} \tan^2 (y) \]
Se invece non riesci nemmeno ad occhio a vedere questo integrale puoi sempre utilizzare le regole di Bioche, per capire quale sostituzione fare. Poni \( \omega(y) = \frac{\sin(y)}{\cos^3(y)}dy \) e osservi quale simmetria possiede. Siccome \( \omega(y)=\omega(-y) \) una sostituzione giudiziosa è \( u = \cos(y) \) e ottieni \( du = -\sin(y) dy \) pertanto ti ritrovi a risolvere
\[ - \int \frac{1}{u^3}du = \frac{1}{2 u^2} + K_0 \]
ed effettuando di nuovo i cambi di variabile al contrario ottieni
\[ \frac{1}{2 u^2} + K_0 = \frac{1}{2 \cos^2(y)} + K_1= \frac{1}{2 \cos^2(e^x)} + K_2 \]
Dove \(K_0,K_1,K_2 \) sono delle costanti.
Magari prova a capire perché anche quest'ultima è una primitiva di quell'integrale. Ovvero significa che le due primitive coincidono a meno di una costante.
\[ \frac{1}{2 \cos^2(e^x)} + K_2 = \frac{\tan^2(e^x)}{2} \]
Edit: Curiosità storica, Charles Bioche è stato un matematico francese professore alla Normale di Parigi, e una volta resosi conto che molti studenti avevano problemi a capire quale sostituzione effettuare in un integrale che presenta seni e coseni o riconducibili ad esse, sviluppò un criterio. Il criterio di Bioche o test d'invarianza di Bioche appunto, insegnato soprattutto in Francia o nei paesi di lingua francese.
\[ \int f(x)dx \]
dove \(f \) è un espressione razionale che possiede solo seni e coseni. Allora effettuare i seguenti test suggeriscono quale sostituzione effettuare. Ponendo \( \omega(x) = f(x)dx \)
1 ) Se
\[ \omega(-x) = \omega(x) \]
allora effettuare la sostituzione \( y = \cos(x) \)
2 ) Se
\[ \omega(\pi-x) = \omega(x) \]
allora effettuare la sostituzione \( y = \sin(x) \)
3 ) Se
\[ \omega(\pi+x) = \omega(x) \]
allora effettuare la sostituzione \( y = \tan(x) \)
4) Se tutti gli altri casi falliscono utilizzare \( y = \tan(x/2) \).
NB:
Per il caso 1) \( d(-x)=-dx \)
Per il caso 2) \( d(\pi-x)=-dx \)
Per il caso 3) \( d(\pi+x)=dx \)
Quindi nel tuo esempio hai
\[ \omega(-y)=\frac{\sin(-y)}{\cos^3(-y)}d(-y)= \frac{-\sin(y)}{\cos^3(y)}d(-y) = - \frac{-\sin(y)}{\cos^3(y)}dy= \frac{\sin(y)}{\cos^3(y)}dy =\omega(y) \]
Consiglio mnemonico:
1) \( \omega(-x) = \omega(x) \) ha la stessa simmetria della sostituzione \( \cos(-x)=\cos(x) \)
2) \( \omega(\pi-x) = \omega(x) \) ha la stessa simmetria della sostituzione \( \sin(\pi-x)=\sin(x) \)
3) \( \omega(\pi+x) = \omega(x) \) ha la stessa simmetria della sostituzione \( \tan(\pi+x)=\tan(x) \)
Lo stesso criterio è comodo anche per risolvere equazioni trigonometriche e ricondursi a equazioni polinomiali. Ad esempio la seguente equazione sul dominio di definizione ovvero, \( \mathbb{R} - \{ \pi/2 + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \), è invariante per sostituzione di \( x \) con \( \pi + x \)
\[\tan(x)-3\sin^2(x)-\cos^2(x)=0 \]
Poniamo dunque \( y = \tan(x) \) e dobbiamo semplicemente risolvere un equazione polinomiale fratta
\[ y + \frac{3 y^2}{1+y^2} - \frac{1}{1+y^2} = 0 \]
e dopo qualche passaggio algebrico ci riconduciamo a risolvere
\[ y^3+3y^2+y-1=0 \]
e con ruffini scomponiamo
\[ (y+1)(y+1-\sqrt{2})(y+1+\sqrt{y}) = 0 \]
Ottenendo dunque l'insieme di soluzione per \(x \), \( S = \{ - \pi/4 + k \pi, \arctan(-1+\sqrt{2})+ k \pi,\arctan(-1-\sqrt{2})+ k \pi ; k \in \mathbb{Z}\} \)