Problema su studio di funzione

[ZfreS]

Buongiorno! Ho questo problema: data la curva di equazione: $y=-1/3x^3+2ax^2+3x-2a$ verifica che ha un solo punto di flesso per ogni $a in R$ e trova l’equazione del luogo $gamma$ da esso descritto al variare di $a$.

Per il primo punto ho calcolato la derivata seconda e l'ho uguagliata a zero, csì ho trovato l'unico punto di flesso.
Ho difficoltà invece a capire come ricavare il luoggo geometrico. In genere, si avevano delle proprietà e bisognava scrivere l'equazione che soddisfava quelle proprietà. Ma in questo caso io ho una funzione parametrica, quindi deve esserci un altro procedimento. Cosa potreste suggerirmi?

[@melia]

Trova l'ordinata del flesso.
Dovresti ottenere $\{(x_F=2a),(y_F = 16/3a^3+4a):}$ da cui trovi $y_F=f(x_F)$

[ZfreS]

Si, ho anche calcolato l'ordinata del flesso, ma certamnete non mi aggiunge informazioni per avere un luogo geometrico.

[@melia]

Ma allora sei proprio un bruscolino (come dico ai miei studenti, quando risolvono un problema e non vedono che hanno in mano la soluzione).
$ \{(x_F=2a),(y_F = 16/3a^3+4a):} $ è il luogo geometrico scritto in forma parametrica. Ricavo $a$ dalla prima equazione e lo sostituisco nella seconda $a=x/2$ allora $y=16/3*(x/2)^3+4*x/2$ da cui $y=2/3x^3+2x$ che è il luogo geometrico scritto in forma non parametrica.

[ZfreS]

Hai ragione, sono un bruscolino. Grazie tante per l'aiuto!