Sto cercando di interpretare in maniera grafica, senza successo, la definizione di stabilità di uno stato di equilibrio per un sistema dinamico stazionario
\(\displaystyle \dot{x(t)} = f(x(t), u(t)), x(0) = x_{0} \).
Uno stato di equilibrio è un particolare valore \(\displaystyle \bar{x} \) di \(\displaystyle x(t) \) tale che, supposto \(\displaystyle u(t) = U = costante \),
renda \(\displaystyle f(\bar{x}, U) = 0 \).
Quella che mi è ostica da intepretare, soprattutto a livello grafico, è la definizione di stabilità per $\bar{x}$, che è la seguente:
Per ogni $\epsilon$>0 esiste un $\delta$>0 tale che, per tutti gli stati iniziali $x_{0}$ tali che $||x_{0} - \bar{x}|| < \delta$, deve risultare $||x(t) - \bar{x}|| < \epsilon$ per ogni $t$ positivo.
Ecco i dubbi:
1) Che cosa intende la definizione quando parla di "tutti gli stati iniziali $x_{0}$"? Lo stato iniziale di un sistema non è uno solo?
2) Per capire cosa intendesse la definizione, ho tentato di visualizzare la situazione graficamente, ma non sono riuscito a rappresentarla. Potreste fornirmene un esempio con un movimento dello stato $x(t)$ monodimensionale?
3) La definizione di asintotica stabilità di uno stato di equilibrio $\bar{x}$ prevede che, oltre a essere stabile, risulti che
$\lim_{t-> \infty}||x(t) - \bar{x}|| = 0$
che, tradotto in linguaggio naturale, sta ad indicare che all'aumentare di $t$ la distanza tra il movimento dello stato e lo stato di equilibrio si annulla.
Confermate che, allora, la stessa definizione si sarebbe potuta anche scrivere equivalentemente come $\lim_{t->\infty}x(t) =\bar{x}$?
Grazie.