studiare nell' origine e al variare di $a>0$ la continuità, le derivate parziali e la differenziabilità della funzione:
$f(x,y)={((exp(|xy|^a)-1)/(sqrt(x^2+y^2)),if (x,y)!=0),(0,if (x,y)=0):}$
provo a riportare la mia risoluzione incompleta (ho ipotizzato che $exp(|xy|^a)=e^(|xy|^a)$) e dove ho qualche dubbio:
$text{Continuità}$ in $(x,y)->(0,0)$
il primo dubbio che ho è la validità dell'asintotico anche con 2 variabili. Supponendolo vero (non ho trovato quasi nulla a riguardo) ho reso:
$f(x,y)~(|xy|^a)/sqrt(x^2+y^2)$ da cui passando alle coordinate polari ottengo
$f(x,y)~((rho)^2*|cos(theta)sin(theta)|^a)/sqrt((rho)^2(cos(theta)^2+ sin(theta)^2))$ $=rho*|cos(theta)*sin(theta)|^a$ e dunque facendo il $lim_(rho->0^+) rho*|cos(theta)*sin(theta)|^a=0$
e dunque $f$ è continua in $(0,0)$ $AA a>0$. E' corretto?
$text{derivate parziali}$ :
$(d_f/d_x)(0,0)=lim_(t->0)[f(t,0)-f(0,0)]/t=(e^(t*0)-1)/(|t|*t)=0$ $AA a>0$
$(d_f/d_y)(0,0)=lim_(t->0)[f(0,t)-f(0,0)]/t=(e^(0*t)-1)/(|t|*t)=0$ $AA a>0$
E' corretto?
$text{differenziabilità}$
$lim((x,y)->(0,0))(e^(|xy|^a)-1)/(sqrt(x^2+y^2))*(1/sqrt(x^2+y^2))$ $=(e^(|xy|^a)-1)/(x^2+y^2)$
ora però non riesco a capire come terminare questo limite.
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie