Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda Aletzunny » 24/03/2020, 18:56

che $f$ è continua ma non differenziabile nonostante la condizione solo necessaria che tutte le derivate parziali esistano è soddisfatta.
questo se $1/2<=a<=1$.

negli altri punti del piano non andrebbe studiata punto a punto?
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Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda Aletzunny » 24/03/2020, 20:01

Mi stanno vendendo dei dubbi per gli altri punti del piano...come si può determinare la differenziabilità senza doverla per forza analizzare?
Grazie
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Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda gugo82 » 24/03/2020, 20:08

Usando la teoria.
Cosa sai delle funzioni differenziabili?
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Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda Aletzunny » 24/03/2020, 21:17

gugo82 ha scritto:Usando la teoria.
Cosa sai delle funzioni differenziabili?


questi due teoremi:
1) se $f(x,y)$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$ allora $f(x,y)$ è continua in $(x_0,y_0)$, $f(x,y)$ ha derivate direzionali in $(x_0,y_0)$ lungo ogni direzione $v in RR^2$, esistono finite le derivate parziali in $(x_0,y_0)$

2) $f(x,y)$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$ se esiste $T:RR^n->RR$ operatore lineare tale che
$lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0)-T_h)/||h||=0$ dove $h$ è un vettore di $RR^n$ che tende a zero.
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Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda gugo82 » 24/03/2020, 22:50

Non credo tu sappia solo questo.

Ad esempio, se $f$ e $g$ sono differenziabili, come sono $f+-g$, $f*g$, etc…?
E com’è la funzione composta da funzioni differenziabili?
E come sono le funzioni elementari?
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Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda Aletzunny » 25/03/2020, 07:23

gugo82 ha scritto:Non credo tu sappia solo questo.

Ad esempio, se $f$ e $g$ sono differenziabili, come sono $f+-g$, $f*g$, etc…?
E com’è la funzione composta da funzioni differenziabili?
E come sono le funzioni elementari?


Seriamente non abbiamo ancora trattato a "lezione" questo argomento.
Cosa dovrei conoscere per poter affermare che è continua (?) e differenziabile negli altri punti senza calcolare nulla?
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Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda gugo82 » 25/03/2020, 09:14

Ragiona rifacendoti al caso di una sola variabile.

Ad esempio, la funzione $f(x) = \{ ((e^x - 1)/x , ", se " x >= 0), (x , ", se " x < 0):}$ dov'è differenziabile?
Come fai a dirlo?
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Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda Aletzunny » 25/03/2020, 13:49

gugo82 ha scritto:Ragiona rifacendoti al caso di una sola variabile.

Ad esempio, la funzione $f(x) = \{ ((e^x - 1)/x , ", se " x >= 0), (x , ", se " x < 0):}$ dov'è differenziabile?
Come fai a dirlo?


Questa funzione è continua e derivabile ovunque tranne $0$ perché sia $x$, sia $e^x-1$,sia la divisione rispettano la continuità e la derivabilità.
Bisogna dunque solo studiare la continuità e la derivabilità in $x=0$.
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Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda gugo82 » 26/03/2020, 00:46

E perché è derivabile (e quindi differenziabile, visto che per funzioni di una sola variabile le due nozioni coincidono) ovunque in $RR - \{ 0\}$?
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Re: esercizio funzione in 2 variabili con parametro

Messaggioda Aletzunny » 26/03/2020, 07:50

ho detto una cavolata perchè
$lim_(x->0^+) f(x)=1=f(0)$ mentre $lim_(x->0^-)(f(x)=0$ dunque $f$ non è continua in $x=0$ e la continuità implica la derivabilità.
Negli altri punti $f$ è continua derivabile perchè per $x<0$ $f'(x)=1$ mentre per $x>0$ $f'(x)=(e^x(x+1))/x^2$
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