Macaulay duration

[FabioA_97]

Come si calcola la duration per un IRS receiver? come posso sfruttarla per calcolare il delta dell'irs?

[Gughigt]

Dai su....
Un IRS receiver (fixed) implica che chi lo acquista paga il fisso e incassa il variabile.
La duration di Macaulay per un generico vettore di flussi:

$\ul(x)={x_(0),x_1,x_2, \cdots, x_(n)}$

Nelle scadenze:

$\ul(t)={t_(0),t_1,t_2, \cdots, t_(n)}$

Coincide con la combinazione lineare convessa di tutte le scadenze aventi come pesi il valore dello ZCB per quella scadenza sul valore totale di tutti i flussi (il valore del titolo). Formalmente:

$D(t,\ul(x))=\frac(\sum_(h=1)^(n)(t_(h)-t)x_(h)v(t,t_h))(\sum_(h=1)^(n)x_(h)v(t,t_h))$

Dove $v(t,t_(h))=e^(-\delta(t,t_h)(t_h-t))$ e $\delta(t,t_h)$ è il tasso spot corrispondente alla scadenza $h$ esplicito sui mercati finanziari (e.g. LIBOR, ma occhio che devi convertirlo se lo usi in capitalizzazione continua).
Al denominatore, per linearità del prezzo riconosciamo $V(t,\ul(x))$ quindi:

$D(t,\ul(x))=\frac(\sum_(h=1)^(n)(t_(h)-t)x_(h)v(t,t_h))(V(t,\ul(x))$

In altre parole la duration coincide con il baricentro della distribuzione dei flussi: sarà evidentemente spostata verso la scadenza in cui ci sono flussi in valore assoluto più alti.
Come si calcola la duration di un'IRS in particolare si parla di una posizione corta (receiver), al pari della valutazione, la duration dello swap è:

$D(t,IRS)=D(t,X)-D(t,Y)$

Dove $D(t,X)$ è la duration del titolo a tasso fisso sottostante allo swap e $D(t,Y)$ quella del titolo indicizzato.
Il delta di uno strumento derivato è coincidente con la sensibilità del prezzo dello strumento stesso a movimenti nel valore del sottostante (semplicemente la derivata del prezzo rispetto al sottostante). Nel caso di un IRS il sottostante è evidentemente un tasso di interesse.
Da qui un'ulteriore estensione del significato della duration (misura di sensibilità).
Indicando con $\delta_{0}$ il tasso corrente, il polinomio di Taylor che approssima il prezzo (al primo ordine) è:

$V(t, x, \delta)=V(t, x, \delta_{0})+V'(t, x, \delta_{0})(\delta-\delta_{0}) + o(\delta-\delta_{0})$

Si noti che non è un'approssimazione (visto il resto di Peano).
Passando alle variazioni relative:

$\frac{V(t, x, \delta)}{V(t, x, \delta_{0})}=1- \frac{V'(t, x, \delta_{0})(\delta-\delta_{0})}{V(t, x, \delta_{0})}+ o(\delta-\delta_{0})$

Facendo le derivate vedrai che:

$(V(t, x, \delta)-V(t, x, \delta_{0}))/(V(t, x, \delta_{0}))~=(Delta V(t, x))/(V(t, x))~= -D(t, x)* Delta \delta$

(L'approssimazione consiste nel trascurare l'o piccolo.)
Quindi:

$Delta V(t, x)~= -D(t, x)V(t, x) Delta \delta$

.
Con la duration quindi si può sapere dove andrà il prezzo davanti ad oscillazioni nei tassi di interesse.
Ovviamente l'approssimazione al primo ordine rappresenta una retta quindi potrebbero esserci errori di curvatura per oscillazioni nei tassi superiori. Puoi continuare a coprirti estendendo al secondo grado (l'approx. sarà una parabola) e riconoscerai un termine noto come convessità.
Credo proprio che ora puoi trarre le tue conclusioni sull'utilità della duration nei derivati lineari su tassi di interesse. (se non hai capito qualcosa chiedi pure)