Esercizio ode lineare coefficienti costanti

Messaggioda D1€ » 25/03/2020, 13:12

Ciao ragazzi,
ho un dubbio nella risoluzione dell'esercizio:
Si risolva il problema:

$\{ (ddot(x) (t) - 5 dot(x)(t) + 4x(t) = e^t + e^(2t)), (x(0)=0), (dot(x)(0)=0):}$

Il problema è che non riesco a scrivere la soluzione particolare dell'equazione non omogenea con $b(t)=e^t$
Io l'ho impostata come $y(t)=c_0te^t$ dato che una delle due soluzioni dell'omogenea associata è appunto $1$ come l'esponente di $e^t$ ma non penso sia giusto.
Consigli? Grazie mille
Ultima modifica di gugo82 il 26/03/2020, 00:43, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: Inserita una formula al posto di una foto.
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Re: Esercizio ode lineare coefficienti costanti

Messaggioda gugo82 » 26/03/2020, 00:44

L'idea sembra promettente... Posta i calcoli, dovrebbe funzionare.
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Re: Esercizio ode lineare coefficienti costanti

Messaggioda D1€ » 26/03/2020, 09:48

$y(t) = c_0 t e^t$
$y'(t)=c_0e^t$
$y''(t)=c_0e^t$

sostituendo i valori nell'equazione del testo dell'esercizio mi viene
$c_0 e^t - 5 c_0 e^t + 4 c_0 t e^t = e^t$
$-4 c_0 e^t + 4 c_0 t e^t = e^t$
$c_0 e^t (4t-4) = e^t$

la soluzione particolare mi viene quindi
$y(t)= 1/(4 (t-1)) t e^t$ con $c_0 = 1/(4(t-1))$

nella soluzione è indicata però come $-1/3 t e^t$.
Ultima modifica di gugo82 il 26/03/2020, 15:14, modificato 2 volte in totale.
Motivazione: Corrette le formule. Non c'è bisogno di tutti quei $! Ne bastano uno all'inizio ed uno alla fine della formula. ;-)
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Re: Esercizio ode lineare coefficienti costanti

Messaggioda gugo82 » 26/03/2020, 15:13

Vedo due problemi, entrambi gravi (se non gravissimi).

1) Sbagli a calcolare le derivate, roba da superiori.

2) Stai affermando che una costante ($c_0$) dipende dalla variabile ($t$)... Ti pare possibile?
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Re: Esercizio ode lineare coefficienti costanti

Messaggioda D1€ » 26/03/2020, 15:24

Non ci credo stavo veramente sbagliando le derivate. Quante assurdità ho sparato, grazie mille per avermele fatte notare!
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Re: Esercizio ode lineare coefficienti costanti

Messaggioda pilloeffe » 27/03/2020, 00:56

Ciao D1€,

Benvenuto sul forum!
D1€ ha scritto:nella soluzione è indicata però come $−1/3 t e^t $.

Attenzione però che quella indicata è la soluzione particolare $x_{p'}(t) $ dell'equazione differenziale col termine noto $b(t) = e^t $, mentre la soluzione particolare con l'altro termine noto $ e^{2t}$ è $x_{p''}(t) = - 1/2 e^{2t}$, quindi la soluzione dell'equazione differenziale iniziale è la seguente:

$x(t) = x_o(t) + x_{p'}(t) + x_{p''}(t) = c_1 e^t + c_2 e^{4t} - 1/3 t e^t - 1/2 e^{2t} $

Poi naturalmente per trovare la soluzione del PdC proposto occorre determinare le due costanti $c_1 $ e $c_2$ mediante le due condizioni date $x(0) = 0 $ e $dot x(0) = 0 $
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