Mi scusi se sono stato troppo rigoroso nella spiegazione. Mi pare di capire che non le è chiaro il perché:
\begin{equation}
\hat{\Sigma}^2 | \phi_k \rangle = \hat{A}^2 -A^2 \hat{I} | \phi_k \rangle = [(a^k)^2 - A^2] | \phi_k \rangle
\end{equation}
Concentriamoci prima su questo problema su cui, nella prima risposta, ho sorvolato. I $\{| \phi_k \rangle \}_{k \in \mathbb{Z}}$ sono autovettori di $\hat{A}$, ovvero l'azione di $\hat{A}$ su di loro porta ad una "dilatazione" del vettore senza cambiarlo; in modo più rigoroso:
\begin{equation}
\hat{A} | \phi_k \rangle = a^k | \phi_k \rangle
\end{equation}
Dunque:
\begin{equation}
\hat{A}^2 | \phi_k \rangle = \hat{A} \hat{A} | \phi_k \rangle = \hat{A} [a^k | \phi_k \rangle] = a^k \hat{A} | \phi_k \rangle = (a^k)^2 | \phi_k \rangle
\end{equation}
1\begin{equation}
A^2 \hat{I}| \phi_k \rangle = A^2 | \phi_k \rangle
\end{equation}
Poiché la somma di due operatori è ancora un operatore (che siano questi lineari o meno), possiamo scrivere che:
\begin{equation}
\hat{\Sigma}^2 | \phi_k \rangle = \hat{A}^2 -A^2 \hat{I} | \phi_k \rangle = \hat{A}^2 | \phi_k \rangle -A^2 \hat{I} | \phi_k \rangle = [(a^k)^2 - A^2] | \phi_k \rangle
\end{equation}
Ora arriva il punto concettualmente più difficile, che necessita di alcune nozioni di matematica.
Una
base di Hamel $\mathcal{B}(\mathbf{V})$ di uno spazio vettoriale $\mathbf{V}$ (noti non ho richiesto alcuna struttura, tipo norma, prodotto scalare o topologia, su $\mathbf{V}$), è un sottoinsieme di $mathbf{V}$ formato da
vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio. Rispettivamente ciò significa che, comunque scelto un sottoinsieme finito di tale base, le uniche combinazioni lineari nulle sono banali ovvero con coefficienti tutti nulli e, comunque scelto un vettore $v \in \mathbf{V}$, esiste un numero finito di vettori nella base tali che una loro combinazione lineare coincide con il vettore $v$.
Negli
spazi di Hilbert separabili, ovvero
spazi vettoriali dotati di un prodotto scalare che li rende spazi metrici completi2 (con la metrica indotta dal prodotto scalare) che ammettono un
sottoinsieme denso numerabile3, esiste una nozione di base più fine rispetto a quella di Hamel: la
base di Hilbert-Fourier. Una base di Hilbert-Fourier $\{\phi_k\}_{k \in \mathbb{Z}}$ per uno spazio di Hilbert separabile $\mathcal{H}$ è un sottoinsieme denso numerabile costituito di vettori linearmente indipendenti (ortonormalizzabili con l'algoritmo di Gram-Schmidt), grazie a cui è possibile scrivere ogni vettore $v \in \mathbf{V}$ come:
\begin{equation}
v = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left \langle \phi^k| v \right \rangle \phi_k
\end{equation}
Ora, se consideriamo un operatore lineare $\hat{A}$ su $\mathcal{H}$, cioè tale che:
\begin{equation}
\hat{A} [\lambda v + \mu w] = \lambda \hat{A} v + \mu \hat{A} w
\end{equation}
abbiamo che esso è univocamente determinato dai valori che esso assume sulla base di $\mathcal{H}$. Infatti poiché la decomposizione di un vettore su una base è unica, vale che:
\begin{equation}
\hat{A} v = \hat{A} [\sum_{k \in\mathbb{Z}} \left \langle \phi^k | v\right \rangle \phi_k] = \lim_{n \to \infty} \sum_{k =-n}^n \left \langle \phi^k | v\right \rangle \hat{A} \phi_k
\end{equation}
quindi se sono noti i valori di $\hat{A} \phi_k$ per ogni $k \in \mathbb{Z}$, il valore di $\hat{A} v$ è noto per ogni $v \in \mathcal{H}$. Spero di essere stato più chiaro ora.
Comunque io le consiglio di studiare meccanica quantistica dal Libro "Modern Quantum Mechanics" di J.J. Sakurai oppure dagli appunti del mio professore di quantistica Franco Dalfovo:
http://www.science.unitn.it/~dalfovo/le ... alfovo.pdfBuona giornata