Caratterizzazione dei misurabili per degli aperti.

Messaggioda 3m0o » 26/03/2020, 16:50

Allora avrei un chiarimento
In corso abbiamo che dato \( E \supset \mathbb{R} \) allora le due proposizioni seguenti sono equivalenti
1)\( E \in \mathcal{M} \).
2)\( \forall \epsilon >0, \exists O \subset E \) aperto tale che \( \operatorname{mes}^*(O \setminus E) \leq \epsilon \).

NB: dove con \( \mathcal{M} \) indico l'insieme degli insiemi misurabili.

Nella dimostrazione che 1) implica 2)
Distingue due casi, nel primo
\( \operatorname{mes}(E) < \infty \)
E utilizza un teorema che abbiamo visto per la misura esterna (non per la misura) ovvero che per ogni \( \epsilon >0 \) esiste \( O \supset E \) aperto tale che
\[ \operatorname{mes}(E) \leq \operatorname{mes}(O) \leq \operatorname{mes}(E) +\epsilon \]

-Ora questo risultato lo abbiamo visto per la misura esterna, ma rimane valida anche per la misura? Cioé cosa mi assicura che \(O\) sia misurabile?

Al termine del primo caso conclude dunque che \( \operatorname{mes}(O \setminus E) \leq \epsilon \)

- Se \( E \in \mathcal{M} \) allora per ogni \( \epsilon >0\) esiste \( O \supset E \) aperto tale che \( O \setminus E \in \mathcal{M} \) e \( \operatorname{mes}(O \setminus E) \leq \epsilon \). Ma in generale se per ogni \( \epsilon >0 \) esiste un aperto \( O \supset E \) tale che \(\operatorname{mes}^*(O \setminus E) \leq \epsilon \) allora \( E \in \mathcal{M} \) ma non è necessariamente vero che \( O \setminus E \in \mathcal{M} \). Giusto?
In sostanza è vero pure che se \( E \in \mathcal{M} \) allora per ogni \( \epsilon > 0 \) esiste \( O \supset E \) tale che \( O \setminus E \not\in \mathcal{M} \) e \( \operatorname{mes}^*(O \setminus E) \leq \epsilon \)
Altrimenti non capisco il senso di scrivere nell'enunciato della proposizione 2) la misura esterna e non la misura.
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Re: Caratterizzazione dei misurabili per degli aperti.

Messaggioda dissonance » 26/03/2020, 18:12

Allora, dovresti dire qual è la definizione di "insieme misurabile". Suppongo usi la caratterizzazione di Caratheodory. Dovrebbe essere chiaro da lì che tutti gli aperti sono misurabili.
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Re: Caratterizzazione dei misurabili per degli aperti.

Messaggioda Bremen000 » 26/03/2020, 18:35

Ciao, faccio un po' fatica a seguire il filo ma penso che questo
3m0o ha scritto:[...]
E utilizza un teorema che abbiamo visto per la misura esterna (non per la misura) ovvero che per ogni \( \epsilon >0 \) esiste \( O \supset E \) aperto tale che
\[ \operatorname{mes}(E) \leq \operatorname{mes}(O) \leq \operatorname{mes}(E) +\epsilon \]

-Ora questo risultato lo abbiamo visto per la misura esterna, ma rimane valida anche per la misura? Cioé cosa mi assicura che \( O \) sia misurabile?
[...]
significhi: sapendo che per ogni \( E \subset \mathbb{R} \) e per ogni $\epsilon >0$ esiste $O \subset \mathbb{R}$ aperto tale che $E \subset O$ e
\[ m^*(E) \le m^*(O) \le m^*(E) + \epsilon, \]
vale la stessa cosa anche con $m$ al posto di \( m^* \) se \( E \in \mathcal{M} \)? La risposta è sì, perché gli aperti sono misurabili, anche se, come dice dissonance, sarebbe meglio che specificassi cosa è \( \mathcal{M} \) per te.

Per il resto provo a vedere se ho capito: nella dimostrazione di 1) implica 2) concludiamo che: dato \( E \in \mathcal{M} \) e \( \epsilon >0 \) esiste \( O \subset \mathbb{R} \) aperto tale che \( m(O \setminus E) < \epsilon \). Questo si può scrivere perché \( E \in \mathcal{M} \) e \( O \) è aperto, dunque anche \( O \in \mathcal{M} \) ed essendo quest'ultima una $\sigma$-algebra, vale \( O \setminus E \in \mathcal{M} \). Ora, per definizione di $m$, vale \( m^*(O \setminus E) = m(O \setminus E) \).

Ovviamente, quando si enuncia la tua proposizione, nel punto 2) bisogna mettere per forza la misura esterna perché a priori non sai che $O \setminus E$ è misurabile, sebbene $O$ sia aperto.

Spero di avere chiarito i tuoi dubbi.
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Re: Caratterizzazione dei misurabili per degli aperti.

Messaggioda 3m0o » 26/03/2020, 18:35

Si esatto uso proprio quella, \( E \) è misurabile se per ogni \( A \subset \mathbb{R} \) abbiamo che
\[ \operatorname{mes}^*(A)=\operatorname{mes}^*(A \cap E ) + \operatorname{mes}^*(A \cap E^C )\]

Si vero gli aperti sono misurabili in più se \( A,B \) sono misurabili allora anche \( A \setminus B \) lo è. Ma allora non capisco perché nell'enunciato della proposizione 2 mette la misura esterna.
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Re: Caratterizzazione dei misurabili per degli aperti.

Messaggioda 3m0o » 26/03/2020, 18:39

Ho scritto in contemporanea al tuo messaggio, ho visto ora la risposta.
Okay, quindi se la proposizione 2) è valida per ogni \( \epsilon >0 \) allora \( E \) è misurabile e dunque \( O \setminus E \) pure. E quindi se le ipotesi sono verificate abbiamo che pure \( O \setminus E \) è misurabile pertanto perché scrivere la misura esterna?

Edit: niente ho detto una cavolata. Se per ogni \( \epsilon >0 \) abbiamo che \( \operatorname{mes}^* (O \setminus E) \leq \epsilon \) possiamo concludere che è misurabile ma a priori no.
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Re: Caratterizzazione dei misurabili per degli aperti.

Messaggioda Bremen000 » 26/03/2020, 21:08

Esattamente come dici nell'edit. A priori nel punto 2 non sai che $E$ è misurabile. Ne prendi uno a caso. Se vale quella condizione (che non richiede che sia misurabile per essere scritta), allora $E$ è misurabile e di conseguenza quella condizione ti dice che per ogni $E$ misurabile e per ogni $\epsilon>0$, trovi un aperto $O$ che lo contiene e tale che $m(O \setminus E) < \epsilon$.
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