Proprietà di compatibilità di una relazione.

Messaggioda Pasquale 90 » 26/03/2020, 17:39

Buonasera,
sto leggendo gli appunti della professoressa di algebra inerenti alla proprietà di compatibilità della relazione di equivalenza.
Al lezione ci fece osservare che da questa definizione è possibile costruire operazioni e strutture algebriche.
Non mi è molto chiara questa osservazione, cioè dalla definizione:
Una relazione di equivalenza $R$ in $S$ dicesi compatibile con una operazione binaria $beta$ in $S$, se l'essere $xRx_1$, $yRy_1$ implica $(xbetay)R(x_1betay_1)$

A parole ci dice che se prendiamo ordinatamente elementi in relazione, anche i loro composti sono in relazione.

Da quanto scritto, per definire la proprietà di compatibilità di una relazione, ho bisogno di un insieme e di un'operazione binaria interna in tale insieme, quindi ho già una struttura algebrica.
Allora qualcosa non mi torna :-)
Ultima modifica di Pasquale 90 il 26/03/2020, 21:31, modificato 3 volte in totale.
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Re: Relazione di compatibilità.

Messaggioda gugo82 » 26/03/2020, 18:53

La compatibilità (con un'operazione) non è una relazione, ma una proprietà di una relazione.

Ad esempio, in $ZZ$ la relazione d'ordine $<=$ è compatibile con la somma $+$.
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Re: Relazione di compatibilità.

Messaggioda Pasquale 90 » 26/03/2020, 19:01

gugo82 ha scritto:La compatibilità (con un'operazione) non è una relazione, ma una proprietà di una relazione.

Ad esempio, in $ZZ$ la relazione d'ordine $<=$ è compatibile con la somma $+$.

Ciao gugo82, grazie di avermelo fatto notare, ho subito cambiato il titolo del topic.
Ma quindi per quanto riguarda il mio dubbio, mi potresti dare qualche indicazione a riguardo.
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Re: Proprietà di compatibilità di una relazione.

Messaggioda gugo82 » 26/03/2020, 19:59

Non avendo seguito il tuo corso, non so se hai riportato bene quanto detto dal docente o meno.
Quindi, boh.

L'unica cosa che mi sento di dire è che la compatibilità di una relazione interna con un'operazione interna (già definita sullo stesso insieme) consente di giocare con le due strutture -quella algebrica e quella indotta dalla relazione- in maniera soddisfacente e di fare diverse cose (cosa di preciso dipende dal tipo di relazione).
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Re: Proprietà di compatibilità di una relazione.

Messaggioda Pasquale 90 » 26/03/2020, 21:29

gugo82 ha scritto:Non avendo seguito il tuo corso, non so se hai riportato bene quanto detto dal docente o meno.
Quindi, boh.

Garantisco... ho il video di tale affermazione :D

Voglio tener presente che questo concetto è stato precisato prima di dare la definizione di legge quoziente nell'insieme quoziente,forse la professoressa si riferiva a questa struttura.
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Re: Proprietà di compatibilità di una relazione.

Messaggioda marco2132k » 27/03/2020, 01:01

Il punto è questo (se ho intuito che cosa tu stia chiedendo): le relazioni compatibili con le operazioni di una qualche struttura algebrica sono tutte e sole quelle che permettono di equipaggiare il quoziente con una struttura dello stesso tipo.

Ad esempio: sai che puoi quozientare un gruppo in modo sensato solo per un sottogruppo normale; e sai anche che i sottogruppi normali sono in corrispondenza uno-a-uno con le relazioni di equivalenza compatibili con l'operazione di gruppo. Dico che potresti anche fare il contrario: se \( \mathcal E \) è una relazione su un gruppo \( G \), e il quoziente \( G/{\mathcal E} \) ha una struttura di gruppo di modo che la proiezione canonica \( G\to G/{\mathcal E} \) sia omo, allora \( \mathcal E \) deve avere quella proprietà che chiami "essere compatibile con le operazioni" (perché?).
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Re: Proprietà di compatibilità di una relazione.

Messaggioda kaspar » 29/03/2020, 05:05

Ti si voleva dire: presa una relazione di equivalenza \(\varepsilon\) su un insieme \(X\), si vuole avere da un magma \((X, \ast)\) un magma \((X/\varepsilon, \tilde\ast)\) nel modo abbastanza naturale che \[\pi(a) \tilde\ast \pi(b) = \pi(a \ast b) \quad\text{per ogni } a, b \in X\] dove \(\pi\) è la proiezione sul quoziente di \(X\), l'insieme \(\pi(a)\) è la classe di equivalenza di \(a\). (In altre parole si vuole \(\pi\) un omomorfismo.)
La domanda è: si può fare questa cosa? Purtroppo in generale no. Serve la compatibilità di \(\ast\) rispetto a \(\varepsilon\), e per renderti conto di questo, immagina che non ci sia. Pensa di avere quattro oggetti \(a, b, c, d\) di \(X\) tali che \(a \varepsilon b\) e \(c \varepsilon d\), ma \((a \ast c) \rlap{\!\not}{\varepsilon} (b \ast d)\). E così hai \(\pi(a) \tilde\ast \pi(c) = \pi(b) \tilde\ast \pi(d)\), ma \(\pi(a \ast c) \neq \pi(b \ast d)\). Capisci che è irrealizzabile il fatto che \(\tilde\ast\) sia un'operazione, per come l'abbiamo posta all'inizio.

PS: Ho preso i magmi, visto che sono la cosa più basica. Poi puoi arricchire quanto vuoi le strutture (questi discorsi si fanno con i gruppi), ma il discorso vale lo stesso.
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