Teorema di Lindelof

Messaggioda 3m0o » 26/03/2020, 01:24

Sto approfittando della clausura per ripassare i vecchi esercizi e riguardando soluzione di questo esercizio c'è un passaggio che non capisco.
Data una collezione \( \{ I_{\alpha} \}_{\alpha \in A } \) di intervalli aperti dimostra che esiste una sotto-collezione al più numerabile \( \{ I_{k} \}_{k=1 }^{\infty} \) tale che
\[ \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k = \bigcup_{\alpha \in A} I_{\alpha} \]

Dimostrazione:
Poniamo \[ B:= \bigcup_{\alpha \in A} I_{\alpha} \]
E per ogni \( x \in B \) poniamo \[ E_x := \{ (a,b,\alpha) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \times A : a < x <b, ]a,b[ \subset I_{\alpha} \} \]
Chiaramente per densità di \( \mathbb{Q} \) in \( \mathbb{R} \) abbiamo che per ogni \( x \in B \) risulta che \( E_x \neq \emptyset \).
Per l'assioma della scelta applicato a \( \{ E_x\}_{x \in B} \) abbiamo che possiamo considerare per ogni \(x \in B \), \( (a_x,b_x,\alpha_x ) \in E_x \). E poniamo dunque
\[ x \in J_x := ]a_x,b_x[ \subset I_{\alpha_{x}} \]
Per costruzione abbiamo che
\[ B= \bigcup_{x \in B} J_x \]
Inoltre poiché \( \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) è numerabile abbiamo che la collezione di intervalli \( \{ J_x \}_{x \in B} \) è al più numerabile. Pertanto esiste una collezione \( \{ J_{x_i}\}_{i=1}^{\infty} \) tale che
\[ B = \bigcup_{i=1}^{\infty} J_{x_i} \]
E segue che
\[ B = \bigcup_{i=1}^{\infty} J_{x_i} \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} I_{\alpha_{x_i}} \subset B \]

La parte che non capisco è:
poiché \( \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) è numerabile abbiamo che la collezione di intervalli \( \{ J_x \}_{x \in B} \) è al più numerabile

Mi sembra equivalente a dire che \( B \) è numerabile... cosa non vera necessariamente.
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Re: Teorema di Lindelof

Messaggioda Bremen000 » 26/03/2020, 21:37

Si in effetti è un po' sottile. Quando tu hai prodotto la tua collezione \( \{ J_x\}_{x \in B} \) in effetti tu hai in mano un numero pari a \( \text{card}(B) \) di intervalli aperti ma non distinti. Devono necessariamente ripetersi ed essere numerabili. Possiamo vederla così
\[ \{ J_x \}_{x \in B } \subset \{ I \mid I =(a,b), \, a,b \in \mathbb{Q}, \, a<b \} \]
e il secondo insieme è chiaramente numerabile perché è in biiezione con un sottoinsieme di $\mathbb{Q}^2$ che è numerabile.

E' un po' sottile perché, per esempio, non scriveremmo mai che un insieme è $A := \{ 1,1,3,5\}$ ma lì, con i tuoi $J_x$, in effetti è scritta una cosa del genere. Cioè la cardinalità del mio $A$ è ovviamente $3$ anche se lì ho elencato $4$ elementi. Qua succede la stessa cosa.
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Re: Teorema di Lindelof

Messaggioda 3m0o » 27/03/2020, 14:30

Okay ho capito, quindi se \(B \) non è numerabile le copie degli insiemi sono "molti di più", sono in numero non numerabile.
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Re: Teorema di Lindelof

Messaggioda Bremen000 » 27/03/2020, 14:35

Esatto.
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