Teorema di Bézout.

Messaggioda Pasquale 90 » 19/03/2020, 16:51

Buonasera sto leggendo la dimostrazione del teorema di Bézout, vi riporto l'enunciato e la dimostrazione
Siano $a_1,...,a_n$ interi non tutti nulli. Posto $d=M.C.D.(a_1,...,a_n)$ risulta
d è il minimo numero naturale del tipo $a_1x_1+....a_nx_n$ con ogni $x_i in ZZ$

Prima di iniziare la lettura, quello che è in corsivo l'ho aggiunto io "dimostra l'affermazione precedente".
Dimostrazione:
Sia $S={a_1x_1+....a_nx_n\:\ x_i in ZZ\,\ a_1x_1+....a_nx_n ge 1}$.
Risulta $S ne emptyset$ infatti esistono necessariamente $x_i in ZZ$ e $a_1,...,a_n in ZZ$ tali che $a_1x_1+....a_nx_n ge 1.$
Sia $m=a_1y_1+a_2y_2+...+a_ny_n=minS$ è multiplo di ogni divisore comune alle $a_i.$

Infatti, considero un generico divisore comune $z$, alle $a_i$.
Ricordo che se $c$ è un divisore comune di $a $ e di $b$ allora $c$ divide anche $ah+bk$ con $h,l in ZZ$.
Quindi generalizzando si ha che se $z$ divide $a_1,a_2,..., a_n$ allora $z$ divide anche $a_1y_1+a_2y_2+...+a_ny_n$ per qualche $y_1,y_2,...,y_n in ZZ$.
Per cui risulta
$m=a_1y_1+a_2y_2+...+a_ny_n=z(c_1y_1+c_2y_2+...+c_ny_n), \ c_i in ZZ $


Allora essendo è un multiplo di ogni divisore comune lo è per $d$, quindi $m ge d$

Per l'algoritmo della divisione euclidea abbiamo che $a_i=mq_i+r_i$ dove $q_i,r_i in ZZ$ e $0 le r_i < m$, quindi risulta
$0 le r_i=a_i-mq_i<m$

a causa dell'essere $m=minS$ segue che $r_i=0$. Allora $a_i=mq_i$ quindi $m$ divide ogni $a_i$, quindi per definizione di $M.C.D.$ si ha $m ge d$. Da quello di prima si ha $m=d$

La parte che non mi è chiara è quella in grassetto. Mi spiego meglio abbiamo supposto che $m=minS$ quindi $m in S$ e $y ge m ge 1\,\ forall y in S$. Adesso non so numericamente quanto vale $m$ può valere $1,4,6,10,...,1000$ e cosi via, quindi se ho capito bene $r_i=0 $ in quanto dovrebbe risultare minore di $1$, però come detto, non sono sicuro se vale $0 le r_i=a_i-mq_i<1 le m$, quindi senz'altro $r_i=0$

Grazie.
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Messaggioda j18eos » 24/03/2020, 23:47

Pasquale 90 ha scritto:[...] Siano $a_1,...,a_n$ interi non tutti nulli. Posto $d=M.C.D.(a_1,...,a_n)$ risulta
d è il minimo numero naturale del tipo $a_1x_1+....a_nx_n$ con ogni $x_i in ZZ$. [...]
Ma quando mai?!

A parte che in questo contesto generale, l'M.C.D. lo si definisce diversamente, o per lo meno dovrebbe essere definito "a meno del segno"...

E seppure volessimo fissarlo "positivo", dato che l'M.C.D. \(\displaystyle d\), questi è strettamente positivo (\(\displaystyle d>0\)); ma se consideri \(\displaystyle x_1=...=x_n=0\) ottieni che questa affermazione (almeno scritta così) è falsa!
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Re: Teorema di Bézout.

Messaggioda Pasquale 90 » 26/03/2020, 10:27

se ho capito bene quello che hai detto, è stata una mia superficialità... scusami, comunque faccio riferimento alla definizione del $M.C.D$ in $NN_0$.
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Messaggioda j18eos » 26/03/2020, 23:05

...ma comunque t'ho dato un esempio in cui quell'affermazione è falsa.

Il teorema di Bézout dice altro, e ti rimando al tuo libro di testo; altrimenti ti invito a consultare en.wikipedia.org
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Re:

Messaggioda Pasquale 90 » 27/03/2020, 08:20

j18eos ha scritto:...ma comunque t'ho dato un esempio in cui quell'affermazione è falsa.

Il teorema di Bézout dice altro, e ti rimando al tuo libro di testo; altrimenti ti invito a consultare en.wikipedia.org


si però non è che di mia spontanea volontà gli ho dato questo nome :-D :-D il libro che uso è LEZIONI DI ALGEBRA di MARIO CURZIO-MERCEDE MAJ-PATRIZIA LONGOBARDI.
Quello che ho riportato si trova a pag. 156, tu invece che libro usi ?
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Messaggioda j18eos » 27/03/2020, 09:27

Io studiai gli esami di algebra dal libro dei proff. De Giovanni e Franciosi... Non ho la possibilità di consultare quel testo, causa quarantena forzata!

Non è che i proff. Curzio-Maj-Longobardi hanno pre-fissato una qualche relazione d'ordine differente da quella usuale di \(\displaystyle\mathbb{N}_{\geq0}\)? Tipo la relazione d'ordine indotta dalla divisibilità?
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