Data una collezione \( \{ I_{\alpha} \}_{\alpha \in A } \) di intervalli aperti dimostra che esiste una sotto-collezione al più numerabile \( \{ I_{k} \}_{k=1 }^{\infty} \) tale che
\[ \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k = \bigcup_{\alpha \in A} I_{\alpha} \]
Dimostrazione:
Poniamo \[ B:= \bigcup_{\alpha \in A} I_{\alpha} \]
E per ogni \( x \in B \) poniamo \[ E_x := \{ (a,b,\alpha) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \times A : a < x <b, ]a,b[ \subset I_{\alpha} \} \]
Chiaramente per densità di \( \mathbb{Q} \) in \( \mathbb{R} \) abbiamo che per ogni \( x \in B \) risulta che \( E_x \neq \emptyset \).
Per l'assioma della scelta applicato a \( \{ E_x\}_{x \in B} \) abbiamo che possiamo considerare per ogni \(x \in B \), \( (a_x,b_x,\alpha_x ) \in E_x \). E poniamo dunque
\[ x \in J_x := ]a_x,b_x[ \subset I_{\alpha_{x}} \]
Per costruzione abbiamo che
\[ B= \bigcup_{x \in B} J_x \]
Inoltre poiché \( \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) è numerabile abbiamo che la collezione di intervalli \( \{ J_x \}_{x \in B} \) è al più numerabile. Pertanto esiste una collezione \( \{ J_{x_i}\}_{i=1}^{\infty} \) tale che
\[ B = \bigcup_{i=1}^{\infty} J_{x_i} \]
E segue che
\[ B = \bigcup_{i=1}^{\infty} J_{x_i} \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} I_{\alpha_{x_i}} \subset B \]
La parte che non capisco è:
poiché \( \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \) è numerabile abbiamo che la collezione di intervalli \( \{ J_x \}_{x \in B} \) è al più numerabile
Mi sembra equivalente a dire che \( B \) è numerabile... cosa non vera necessariamente.