Senza perdità di generalità.

Messaggioda 3m0o » 26/03/2020, 02:12

Probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua. Ma la giustificazione di un "senza perdita di generalità" mi sembra "invertita".

L'enunciato dell'esercizio è il seguente
Siano \( J_n = ]c_n,d_n[ \) tale che \[ ]a,b[ \subset [a,b] \subset \bigcup_{n=1}^{N} J_n \]
dimostra che
\[ b-a \leq \sum_{n=1}^{N} \operatorname{long}(J_n) \]

La giustificazione del correttore:
Possiamo supporre senza perdita di generalità che nessun \( J_n \) è incluso in un \(J_m \) infatti se togliamo \( J_n \) il risultato è ancora vero a fortiori. E possiamo supporre senza perdita di generalità che per tutti gli \(n \) abbiamo che \( J_n \cap [a,b] \neq 0 \). Infatti togliendolo il risultato è ancora vero.

Secondo me è logicamente più corretto dire
Possiamo supporre senza perdita di generalità che nessun \( J_n \) è incluso in un \(J_m \) infatti se aggiungiamo \( J_n \) il risultato è ancora vero a fortiori. E possiamo supporre senza perdita di generalità che per tutti gli \(n \) abbiamo che \( J_n \cap [a,b] \neq 0 \). Infatti aggiungendolo il risultato è ancora vero.

Insomma il ragionamento delle soluzioni mi sembra
Se \( J_n \subset J_m \) per qualche \(1 \leq n,m \leq N \) e per ipotesi
\[ b-a \leq \sum_{k=1}^{N} \operatorname{long}(J_k) \]
allora risulta vero anche
\[ b-a \leq \sum_{k=1, k \neq n }^{N} \operatorname{long}(J_k) \leq \sum_{k=1}^{N} \operatorname{long}(J_k) \]
Cosa che a priori potrebbe essere sbagliata. Perché potremmo avere
\[\sum_{k=1, k \neq n }^{N} \operatorname{long}(J_k)\leq b-a \leq \sum_{k=1}^{N} \operatorname{long}(J_k) \]
È corretto invece dire
Se \( J_n \subset J_m \) per qualche \(1 \leq n,m \leq N \) e per ipotesi
\[ b-a \leq \sum_{k=1, k \neq n}^{N} \operatorname{long}(J_k) \]
allora risulta vero anche
\[ b-a \leq \sum_{k=1, k \neq n }^{N} \operatorname{long}(J_k) \leq \sum_{k=1}^{N} \operatorname{long}(J_k) \]

Idem per il wlog relativo a \( J_n \cap [a,b] \neq \emptyset \).
Ho ragione? Se sì, sono troppo pignolo?
3m0o
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 921 di 1102
Iscritto il: 02/01/2018, 15:00

Re: Senza perdità di generalità.

Messaggioda Bremen000 » 26/03/2020, 21:21

Ho capito cosa dici e secondo me entrambe i paragrafi scritti in linguaggio naturale sono ambigui. Infatti in entrambi i casi sarebbe meglio dire "infatti se [...], l'ipotesi continua a valere e se vale la tesi anche in questo caso vale anche quando [...] a maggior ragione".
Quello che vuole dire la soluzione, e che tu hai capito perfettamente è questo
3m0o ha scritto:[...]
È corretto invece dire
Se \( J_n \subset J_m \) per qualche \( 1 \leq n,m \leq N \) e per ipotesi
\[ b-a \leq \sum_{k=1, k \neq n}^{N} \operatorname{long}(J_k) \]
allora risulta vero anche
\[ b-a \leq \sum_{k=1, k \neq n }^{N} \operatorname{long}(J_k) \leq \sum_{k=1}^{N} \operatorname{long}(J_k) \]

Idem per il wlog relativo a \( J_n \cap [a,b] \neq \emptyset \).[...]

E si, sei troppo pignolo :D
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
Bremen000
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1273 di 1308
Iscritto il: 08/09/2015, 11:16

Re: Senza perdità di generalità.

Messaggioda 3m0o » 27/03/2020, 14:31

Ok perfetto. E si sono un po' pignolo :D
3m0o
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 926 di 1102
Iscritto il: 02/01/2018, 15:00

Re: Senza perdità di generalità.

Messaggioda vict85 » 27/03/2020, 15:24

Di fatto, entrambi i discorsi sono formalmente sbagliati. Il primo perché parla come se la tesi fosse già dimostrata e il tuo perché aggiunge quando invece stai togliendo. Insomma, la tua seconda frase non è logicamente più corretta della prima.

Io personalmente lo direi così:
Possiamo supporre, senza perdita di generalità, che non esista alcun sottoinsieme \(\mathcal{J}'\subsetneq \mathcal{J} = \{J_i : 1\le i \le N\}\) tale che \(\bigcup_{J\in\mathcal{J}'} J \supset [a,b]\). Infatti, se \(\mathcal{J}\) fosse un controesempio della proposizione, qualsiasi \(\mathcal{J}'\subsetneq \mathcal{J}\) che soddisfacesse quella proprietà sarebbe anch'esso un controesempio della proposizione.
vict85
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 10107 di 10133
Iscritto il: 16/01/2008, 00:13
Località: Berlin

Re: Senza perdità di generalità.

Messaggioda 3m0o » 27/03/2020, 17:34

Ma no scusa, io posso supporre che la tesi è già dimostrata con gli insiemi che non sono inclusi uno in un altro e poi aggiungendo un insieme che è incluso in un altro vedo che se la tesi è dimostrata allora resta vero a maggior ragione. Chiaro devo dimostrare la tesi.
3m0o
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 927 di 1102
Iscritto il: 02/01/2018, 15:00

Re: Senza perdità di generalità.

Messaggioda vict85 » 27/03/2020, 18:00

Si, ma nella tua frase non lo avevi scritto esattamente così. Il problema di entrambi i testi era che nessuno dei due aveva dichiarato di supporre vero il caso minimale.
vict85
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 10108 di 10133
Iscritto il: 16/01/2008, 00:13
Località: Berlin


Torna a Analisi superiore

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 6 ospiti