Principio di massimo di Aleksandrov per soluzioni semiconvesse

Messaggioda LilCaccioppoli » 26/03/2020, 16:11

Salve a tutti, spero che qualcuno possa aiutarmi in qeusta cosa perchè non so proprio più che fare..

Sia $u:\Omega \rightarrow \mathbb{R} $.

Una funzione $u$ è detta semiconvessa se $u=v+w$ per una qualche $v\in C^{1,1}(\Omega)$ e funzione convessa $w$
**N.B.**: è equivalente dire che $u$ è semiconvessa se esiste un $\lambda$ t.c. la funzione $z(x)=u(x)+\dfrac{|x|^2}{2\lambda}$ è convessa.

Si consideri l'operatore ellittico della forma $$Lu=a^{ij}D_{ij}u+b^iD_iu$$ e sia $L$ uniformemente ellittico.

Vorrei mostrare il seguente:

**Theorem(Aleksandrov maximum principle)**: Sia $u$ semiconvessa in $\Omega$ e si supponga che $Lu+f\geq0$ quasi ovunque in $\Omega$ per una qualche $f\in L^{n}(\Omega)$. Allora si ha la seguente stima:
$$ \sup_{\Omega}u \leq \sup_{\partial\Omega}u+ C ||f||_{L^n(\Gamma^+)}$$

dove $\Gamma^+$ è l'insieme di contatto superiore di $u$ ( un sottinsieme di $\Omega$ dove l'Hessian di$u$ definita negativa).

Il mio articolo dice solo che esso può essere dedotto dalla stessa stima per sub-soluzioni classiche($C^2(\Omega)$) usando la mollificazione. Pertanto ho pensato di seguire la stessa dimostrazione che viene fatta nel caso di subsoluzioni forti ($u\in W^{2,n}(\Omega)$).
Il problema è che non so come in che modo le derivate della mollificata possano convergere alla derivata di $u$.
**N.B.** funzioni semiconvesse sono due volte differenziabili q.o.!!!!
Qualcuno può aiutarmi?
Ultima modifica di LilCaccioppoli il 26/03/2020, 16:22, modificato 1 volta in totale.
LilCaccioppoli
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 12 di 21
Iscritto il: 11/10/2018, 21:52

Re: Principio di massimo di Aleksandrov per soluzioni semiconvesse

Messaggioda dissonance » 26/03/2020, 16:19

Beh senti non lo so adesso tutta sta storia dell'operatore ellittico, poi non lo hai neanche scritto molto bene, per esempio a un certo punto dici "e sia \(L\)", punto. Che significa questa cosa?

In ogni caso, non so se lo voglio sapere. Infatti da quanto scrivi capisco che il tuo problema non richiede tanti dettagli. Tu hai bisogno solo di informazioni sulla mollificazione e questa è una cosa molto più facile; se \(u\in W^{1,p}\) allora, detta \(u_n=u\ast \phi_n\) una successione mollificata, si ha che
\[
u_n\to u, \ \nabla u_n\to \nabla u, \quad \text{in }L^p.\]
Lo puoi trovare un po' ovunque, per esempio prova a cercare sul Brezis.
dissonance
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 16227 di 16338
Iscritto il: 24/05/2008, 19:39
Località: Nomade

Re: Principio di massimo di Aleksandrov per soluzioni semiconvesse

Messaggioda LilCaccioppoli » 26/03/2020, 16:33

dissonance ha scritto:Beh senti non lo so adesso tutta sta storia dell'operatore ellittico, poi non lo hai neanche scritto molto bene, per esempio a un certo punto dici "e sia \(L\)", punto. Che significa questa cosa?


Scusa, nella fretta avevo scordato. Volevo dire operatore uniformemente ellittico. Non ho scritto più di tanto perchè altrimenti sarebbe diventato una spiegazione sugli operatori ellittici.

dissonance ha scritto:In ogni caso, non so se lo voglio sapere. Infatti da quanto scrivi capisco che il tuo problema non richiede tanti dettagli. Tu hai bisogno solo di informazioni sulla mollificazione e questa è una cosa molto più facile; se \(u\in W^{1,p}\) allora, detta \(u_n=u\ast \phi_n\) una successione mollificata, si ha che
\[
u_n\to u, \ \nabla u_n\to \nabla u, \quad \text{in }L^p.\]
Lo puoi trovare un po' ovunque, per esempio prova a cercare sul Brezis.


Hai ragione cerco di riformulare la domanda:
Credo che si debba sfruttare il fatto che $u$, essendo semiconvessa, sia due volte differenziabile. A questo punto la mia domanda diventa: considerata una successione mollificata \(u_n=u\ast \phi_n\), posso dire che
$$||a^{ij}D_{ij} (u_n-u) -b^iD_i(u_n-u)||_{L^n(\Omega)}\rightarrow 0$$?

Se è sì, perchè? Le proprietà di convergenza continuano a valere se considero le derivate?
LilCaccioppoli
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 13 di 21
Iscritto il: 11/10/2018, 21:52

Re: Principio di massimo di Aleksandrov per soluzioni semiconvesse

Messaggioda dissonance » 27/03/2020, 13:39

Non hai scritto che ipotesi hai su \(a^{ij}\) e \(b^i\). Ma credo che alla fin fine sia tutta una conseguenza della proprietà che scrivevo nel mio post precedente.
dissonance
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 16232 di 16338
Iscritto il: 24/05/2008, 19:39
Località: Nomade

Re: Principio di massimo di Aleksandrov per soluzioni semiconvesse

Messaggioda LilCaccioppoli » 27/03/2020, 16:45

dissonance ha scritto:Non hai scritto che ipotesi hai su \(a^{ij}\) e \(b^i\). Ma credo che alla fin fine sia tutta una conseguenza della proprietà che scrivevo nel mio post precedente.


Le ipotesi sono che $[a_{ij}]$ è una matrice simmetrica a coefficienti reali e $b^i$ tali che$$ \lambda I \leq[a^{ij}]\leq \Lambda I , \quad \quad |b^i|\leq \mu $$
con $\lambda, \Lambda, \mu$ constanti positive.
Scusami ma continuo a non capire il motivo per cui dovrebbe convergere a zero. La funzione $u$ è solo due volte differenziabile, precisamente so che vale che per q.o. $x\in \Omega$ esistono unici $(p,A)\in \mathbb{R}^n$x$S(n)$ tali che
$$u(x)=u(x_0)+<p,x-x_0>+<A(x-x_0),x-x_0>+o(|x-x_0|^2)$$.
Inoltre il risultato che voglio dimostrare è ben noto nel caso in cui $u\in W^{2,n}$, quindi non credo che possa supporre che $u$ appartenga a qualche tipo di spazio di Sobolev..o no?
LilCaccioppoli
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 15 di 21
Iscritto il: 11/10/2018, 21:52

Re: Principio di massimo di Aleksandrov per soluzioni semiconvesse

Messaggioda dissonance » 28/03/2020, 15:36

Non lo so, il fatto è che la domanda posta così è troppo lunga da leggere, difficile arrivare al dunque. Cosa vuoi dimostrare esattamente? Immagino tu debba dimostrare che \[
a_{ij}D_{ij} u_n \to a_{ij}D_{ij}u\]
in \(L^p\). Perché questo ti turba?
dissonance
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 16235 di 16338
Iscritto il: 24/05/2008, 19:39
Località: Nomade

Re: Principio di massimo di Aleksandrov per soluzioni semiconvesse

Messaggioda LilCaccioppoli » 28/03/2020, 16:25

Innanzitutto grazie sempre per la pazienza dissonance :)

dissonance ha scritto:Perché questo ti turba?

Non che mi turbi particolarmente è che avrei voluto un qualcosa di formale, visto che non ho tanta manualità sugli spazi di funzioni come $L^p$. Ci provo così:

So che vale:
Proposizione Data una funzione $f \in L_{loc}^p(\Omega)$, la mollificata $f_\epsilon$ soddisfa
$$||f_\epsilon - f||_p \rightarrow 0.$$

Pertanto l'unica cosa che dovrei far vedere è che $ D_{ij}u, D_i u \in L_{loc}^n(\Omega)$.

Si può dire che $D_{ij}u, D_i u \in L_{loc}^n(\Omega)$ usando solo il fatto che $u$ è due volte differenziabile?
Credo di sì, essendo che le quantità $D_{ij}u, D_i u$ esistono per q.o. $x$.
In fondo (credo) appartenere ad uno spazio $L_{loc}^n(\Omega)$ non richiede particolari regolarità, si può dire in maniera molto selvaggia che basti che tali funzioni non "esplodino". Confermi questo tutto questo tipo di ragionamento?
LilCaccioppoli
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 16 di 21
Iscritto il: 11/10/2018, 21:52

Re: Principio di massimo di Aleksandrov per soluzioni semiconvesse

Messaggioda dissonance » 28/03/2020, 18:41

La proposizione è falsa. Affinché quella cosa sia vera, \(f\) deve essere in \(L^p\). Però se è localmente in \(L^p\) allora la mollificata convergerà localmente in \(L^p\), ovvero, per ogni palla \(B\subset \mathbb R^n\) si avrà che
\[
\|f_\epsilon-f\|_{L^p(B)}\to 0.\]
Con questo dovresti poter concludere tutto quello che vuoi.
dissonance
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 16236 di 16338
Iscritto il: 24/05/2008, 19:39
Località: Nomade

Re: Principio di massimo di Aleksandrov per soluzioni semiconvesse

Messaggioda LilCaccioppoli » 28/03/2020, 18:46

dissonance ha scritto:La proposizione è falsa. Affinché quella cosa sia vera, \(f\) deve essere in \(L^p\). Però se è localmente in \(L^p\) allora la mollificata convergerà localmente in \(L^p\), ovvero, per ogni palla \(B\subset \mathbb R^n\) si avrà che
\[
\|f_\epsilon-f\|_{L^p(B)}\to 0.\]
Con questo dovresti poter concludere tutto quello che vuoi.


E allora credi che ci sia un modo di far vedere che $D_{ij}, D_i$ sia in $L^p$? Se è no, sono almeno in $L_{loc}^p$?Ricordo che la $u$ è due volte differenziabile q.o. .

Inoltre vale quello che ho detto prima? Cioè che per essere in $L_{loc}^p$ basta che non "esplodino" le funzioni?
LilCaccioppoli
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 17 di 21
Iscritto il: 11/10/2018, 21:52

Re: Principio di massimo di Aleksandrov per soluzioni semiconvesse

Messaggioda dissonance » 28/03/2020, 18:52

Stai sperimentando la tipica difficoltà di chi si approccia per la prima volta agli articoli di ricerca, c'è un muro di sbarramento e non si riesce a capire quali siano i dettagli tecnici secondari e quali siano le cose davvero degne di nota. Qui per esempio ti stai fissando su questa convergenza ma stai completamente ignorando una questione molto più importante. La tua funzione \(u\) non è in \(C^2\) né in \(W^{2,p}\). Ma allora cosa significa \(D_{ij}u\)?
dissonance
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 16237 di 16338
Iscritto il: 24/05/2008, 19:39
Località: Nomade

Prossimo

Torna a Analisi superiore

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 45 ospiti