Salve a tutti, spero che qualcuno possa aiutarmi in qeusta cosa perchè non so proprio più che fare..
Sia $u:\Omega \rightarrow \mathbb{R} $.
Una funzione $u$ è detta semiconvessa se $u=v+w$ per una qualche $v\in C^{1,1}(\Omega)$ e funzione convessa $w$
**N.B.**: è equivalente dire che $u$ è semiconvessa se esiste un $\lambda$ t.c. la funzione $z(x)=u(x)+\dfrac{|x|^2}{2\lambda}$ è convessa.
Si consideri l'operatore ellittico della forma $$Lu=a^{ij}D_{ij}u+b^iD_iu$$ e sia $L$ uniformemente ellittico.
Vorrei mostrare il seguente:
**Theorem(Aleksandrov maximum principle)**: Sia $u$ semiconvessa in $\Omega$ e si supponga che $Lu+f\geq0$ quasi ovunque in $\Omega$ per una qualche $f\in L^{n}(\Omega)$. Allora si ha la seguente stima:
$$ \sup_{\Omega}u \leq \sup_{\partial\Omega}u+ C ||f||_{L^n(\Gamma^+)}$$
dove $\Gamma^+$ è l'insieme di contatto superiore di $u$ ( un sottinsieme di $\Omega$ dove l'Hessian di$u$ definita negativa).
Il mio articolo dice solo che esso può essere dedotto dalla stessa stima per sub-soluzioni classiche($C^2(\Omega)$) usando la mollificazione. Pertanto ho pensato di seguire la stessa dimostrazione che viene fatta nel caso di subsoluzioni forti ($u\in W^{2,n}(\Omega)$).
Il problema è che non so come in che modo le derivate della mollificata possano convergere alla derivata di $u$.
**N.B.** funzioni semiconvesse sono due volte differenziabili q.o.!!!!
Qualcuno può aiutarmi?