PieroH ha scritto:Dato che $1/2<1$ è come se gli estremi di integrazione fossero invertiti, quindi
$-\int_{1}^{1/2} 1/t dt~~0,69 $
Nono... Nessun "come se": in Matematica non si finge.
Quando in un integrale definito $int_a^b f(x) "d" x$ hai $b<a$, per definizione è:
$int_a^b f(x) " d"x = -int_b^a f(x)" d"x$.
Quindi, nel tuo caso:
$int_1^(1/2) 1/x " d"x = - int_(1/2)^1 1/x " d" x = -[ ln 1 - ln (1/2)] = ln (1/2) = - ln 2 ~~ -0.6$
sicché il numero $int_1^(1/2) 1/x "d" x$ è negativo.
La questione, allora, è proprio questa: può un numero negativo essere il valore (della misura) di un'area?
PieroH ha scritto:A me quello che crea confusione è:
come e da cosa una generica funzione integrale $F$ prenda i valori delle aree.
Perché ti crea confusione?
Vediamo un po'... Ragioniamo innanzitutto con un esempio.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
In Figura 1 ho disegnato il grafico della funzione $f(x) = 1/2 x + 2$ per $x>= 0=a$:
che è un tratto della retta di equazione $Y=1/2 X + 2$.
1Consideriamo la parte di piano compresa tra le rette verticali di equazione $X=0$ ed $X=x$, l'asse delle ascisse di equazione $Y=0$ ed il grafico della funzione $f$; scegliendo arbitrariamente $x>0$ e disegnando la parte di piano descritta sopra otteniamo la regione in Figura 2:
che è un trapezio rettangolo avente altezza $h=x$, base minore $b=2$ e base maggiore $B=f(x)=1/2 x + 2$. Chiaramente, cambiando il valore di $x$, ossia facendo scorrere il punto $x$ verso destra, si ottengono trapezi rettangoli con differenti basi maggiori e, dunque, diverse aree; per questo motivo l'area della parte di piano delimitata dalle rette $X=0$, $X=x$, $Y=0$ e dal grafico di $f$ si può esprimere in funzione di $x$:
$A(x) = "area del trapezio delimitato da " X=0, X=x, Y=0 " e dal grafico di " f$.
Nel caso in esame, il valore di $A(x)$ lo possiamo calcolare con una nota formula di Geometria Elementare e troviamo:
$A(x) = ((B+b)*h)/2 = ((f(x) + 2)*x)/2 = (1/2 x^2 + 4x)/2$,
quindi $A(x) = 1/4 x^2 + 2x$ esprime l'area della zona
arancione sotto il grafico di $f$.
Andiamo a vedere cosa succede calcolando esplicitamente la funzione integrale di $f$ con punto iniziale $a=0$: abbiamo:
$F(x)=int_0^x f(t) " d" t = int_0^x (1/2 t + 2)" d" t = [1/4 t^2 + 2t]_0^x = 1/4 x^2 + 2 x$
e così si vede che $F(x)=A(x)$, cioè la funzione integrale $F(x)$ con punto iniziale $0$ fornisce (la misura del)l'area $A(x)$ della regione
arancione sottesa al grafico di $f$.
Questo esempio ci da modo di intuire che le cose, in alcuni casi, vanno effettivamente come tu dici: la funzione integrale misura un'area... Tuttavia, l'esempio non spiega "perché" ciò accada.
Il "perché" di una affermazione matematica va ricercato 1) nella sua dimostrazione e 2) nei controesempi che possono essere esibiti quando non sono soddisfatte tutte le ipotesi che garantiscono il funzionamento della dimostrazione.
Il problema è che, a questo punto dei tuoi studi, non hai gli strumenti che rendono possibile la comprensione piena della faccenda.
2Quel che possiamo fare qui è ragionare "alla buona", come facevano i padri del Calcolo Differenziale ed Integrale, cioè Leibniz e Newton, per fornire una pseudo-dimostrazione del legame tra funzione integrale (e, quindi, primitive) ed il calcolo delle aree.
In particolare, seguiamo Leibniz e disegniamo nel sistema di assi $OXY$ il grafico di una funzione continua e positiva $f$:
fissiamo un $x>1$ ed un incremento $Delta x$ "molto piccolo", e consideriamo le due regioni di piano comprese tra le rette $X=1$, $X=x$, $Y=0$ e tra le rette $X=1$, $X=x+Delta x$, $Y=0$ ed il grafico di $f$.
La differenza tra le aree di tali regioni, ossia la differenza $Delta A = A(x+Delta x) - A(x)$, coincide con l'area della parte di piano compresa tra le rette $X=x$, $X=x+Delta x$, $Y=0$ ed il grafico di $f$ che è evidenziata nella figura che segue:
L'area $Delta A$ può essere approssimata con l'area di un rettangolo avente base l'intervallo $[x,x+Delta x]$ sull'asse delle ascisse ed altezza lunga $f(c)$, in cui $x<= c <= x+ Delta x$, come si vede confrontando la figura precedente con la seguente.
Dunque:
$Delta A ~~ f(c) * Delta x => (Delta A)/(Delta x) ~~ f(c)$.
Ora, se mandiamo $Delta x -> 0$, il primo membro della precedente diventa $A^\prime (x)$, mentre il secondo tende a $f(x)$ (poiché da $x <= c <= x+Delta x$ e dal Teorema dei Carabinieri segue $c -> x$ e per la continuità di $f$ otteniamo $f(c) -> f(x)$), cosicché al limite abbiamo:
$A^\prime (x) = f(x)$.
Questo vuol dire che la funzione $A$ che misura le aree delle parti di piano sottostanti il grafico di $f$ è una funzione la cui derivata coincide con $f$, ossia che $A$ è una primitiva di $f$.
Ma, visto che le primitive di $f$ si esprimono sfruttando la funzione integrale $F(x) = int_1^x f(t)"d" t$, è chiaro che anche l'area $A$ si esprime sfruttando opportunamente la funzione integrale $F$... Questo "spiega" perché la funzione integrale fornisce anche la misura di un'area.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)