Chiarimento dimostrazione formula di Grassmann

[ZfreS]

Ho un dubbio nella dimostrazione della formula di Grassmann. Io seguo questa dimostrazione:
chiamo $k=dim(VnnW)$, $m=dim(V)$, $n=dim(W)$. Per dimostrare che $dim(V+W)=m+n-k$ considero delle basi. Sia ${v_1,v_2,...,v_k}$ una base di $VnnW$. Essendo questi vettori linearmente indipendenti in $V$ si possono completare ad una base di $V$ aggiungendo ${v_(k+1),...,v_m}$. Ma essi son parte dell'intersezione e quindi sono anche linearmente indipendenti in $W$ e quindi li posso completare anche qui ad una base di $W$ aggiungendo ${w_(k+1),...,w_n}$. Ora potrei dire che ${v_1,...,v_k,v_(k+1),...,v_m,w_(k+1),...,w_n}$ è una base di $V+W$. Avendolo dimostrato otterrei proprio $m+n-k$ elementi. per dimostrarlo devo verificare che 1) sono generatori e che 2) sono linearmente indipendenti per formare una base.
1)Ogni elemento $x in V+W$ si scrive come $x=V+W=c_1v_1+c_2v_2+...+c_mv_m+d_1v_1+...+d_kv_k+d_(k+1)w_(k+1)+...+d_nw_n$. Il primo blocco dei $v$ sta in $V$ e il secondo sta in $W$. Quindi $x$ è combinazione lineare dei $m+n-k$ elementi, il che dimostra che sono generatori.
2)Considero una generica combinazione lineare che si annulli $a_1v_1+...+a_kv_k+b_(k+1)v_(k+1)+...+b_mv_m+c_(k+1)w_(k+1)+...+c_nw_n$. Porto al secondo membro tutti i termini in cui compare $w$ ottenendo:
$a_1v_1+...+b_mv_m=-c_(k+1)w_(k+1)-...-c_nw_n$. Il primo membro sta in $V$ mentre il secondo sta in $W$. Per essere soddisfatta l'equazione, i vettori devono appartenere a $VnnW$, ma allora sono combinazione lineare di ${v_1,...,v_k}$ perchè base dell'intersezione. Ma così si ha che
$-c_(k+1)w_(k+1)-...-c_nw_n=d_1v_1+...+d_kv_k$. Portando tutto dalla stessa parte si ottiene una combinazione lineare di ${v_1,...,v_k,w_(k+1),...,w_n}$ che si annulla, ma essendo questi una base di $W$ segue che tutti i coefficienti devono essere nulli, quindi in particolare $c_(k+1)=...=c_n=0$. M allora $a_1v_1+...+b_mv_m=0$ che è combinazione lineare di $v_1,...,v_m$ che è una base di $V$, quindi di nuovo tutti i coefficienti sono nulli, quindi tutti gli $a_i$ e i $b_i$ sono nulli. Questo dimostra che i vettori di partenza sono linearmente indipendenti.
Ciò che non capisco è perchè in questo passaggio $x=V+W=c_1v_1+c_2v_2+...+c_mv_m+d_1v_1+...+d_kv_k+d_(k+1)w_(k+1)+...+d_nw_n$ vengono utilizzati i coefficienti $d$ anche per gli elementi in $W$. Io avrei usato per esempio i coefficienti $a$ per $v$, $b$ per $VnnW$ e $d$ per $W$.

Potreste perfavore chiarirmi questo punto?

[j18eos]

[...]Sia ${v_1,v_2,...,v_k}$ una base di $VnnW$. Essendo questi vettori linearmente indipendenti in $V$ si possono completare ad una base di $V$ aggiungendo ${v_(k+1),...,v_m}$. Ma essi son parte dell'intersezione[...]

Falso; altrimenti si avrebbe:
\[
V\subseteq W.
\]
Chiaro l'errore?

[ZfreS]

Ma nel testo si intende che ${v_1,...,v_k}$ stanno nell'intersezione. Infatti a partire da questi arrivo a completare si $V$ sia $W$. Sinceramente non capisco qual sia l'errore.

[j18eos]

Attenzione agli indici...

Le ipotesi sono:
\[
\{v_1,\dotsc,v_k\}\subset V\cap W\,\text{e}\,\{v_{k+1},\dotsc,v_m\}\subset V\setminus W.
\]
Analogo discorso coi vettori \(\displaystyle\{w_{k+1},\dotsc,w_n\}\subset W\setminus V\).

[ZfreS]

Esato, quello che hai scritto è quello che si intende nella dimostrazione, ma riguardo il mio dubbio cosa diresti?

[j18eos]

Per come avevi scritto, non s'era capìto bene...

Venendo al tuo dubbio: gli scalari puoi chiamarli come ti pare. Non è in funzione del nome che la dimostrazione lavora.

Non so se mi sono spiegato...

[ZfreS]

Quindi in paratica, nel mio caso, il coefficiente $d$ viene usato sia per $v$ che per $w$ ma quando viene usato per $w$ non si intende più quello di prima, giusto?

[j18eos]

In certo senso sì, perché i coefficienti si chiamano \(\displaystyle d_1,d_2,\dotsc,d_{qualcosa}\). Chiaro?

[ZfreS]

Se ho capito bene questa $x=V+W=c_1v_1+c_2v_2+...+c_mv_m+d_1v_1+...+d_kv_k+d_(k+1)w_(k+1)+...+d_nw_n$ l'avrei potuta scrivere anche così: $x=V+W=c_1v_1+c_2v_2+...+c_mv_m+c_1v_1+...+c_kv_k+d_(k+1)w_(k+1)+...+d_nw_n$
Perche nel primo caso considero il fatto che $VnnWsubeW$ mentre nel secondo caso $VnnWsubeV$

[j18eos]

Attenzione ai pedici dei vettori \(\displaystyle v\)...

Se può esserti più chiaro, chiama \(\displaystyle\{\underline{e}_1,\dotsc,\underline{e}_k\}\) una base di \(\displaystyle V\cap W\), \(\displaystyle\{\underline{v}_{k+1},\dotsc,\underline{v}_n\}\) una base di \(\displaystyle V\) e \(\displaystyle\{\underline{w}_{k+1},\dotsc,\underline{v}_m\}\) una base di \(\displaystyle W\).