Dimostrazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

[cla29]

Buongiorno,

in merito alla classica dimostrazione della suddetta disuguaglianza: $ | x \cdot y| <=| x| cdot| y| $

con x e y vettori, si usa risolvere analizzando $ | x + lambda y| ^2>=0 $ per ottenere: $ | x | ^2 +2lambda(xcdoty)+lambda^2| y| ^2 >=0 $ il tutto è valido per ogni lambda reale.

A questo punto però, si usa scegliere un particolare lambda ad esempio: $ lambda=-(xcdoty)/ (| y| ^2) $ per ottenere la disuguaglianza. Quello che non capisco è come si fa a dare carattere generale a questa disuguaglianza, facendola valere per ogni coppia di vettori x e y quando la stessa è stata ottenuta solo per un particolare valore di lambda?

[solaàl]

Non è quello che stai facendo. Un'equazione di secondo grado ha un numero associato, si chiama discriminante; esso è positivo se l'equazione ha radici distinte; nullo se le ha coincidenti; negativo se non ha radici reali. Il discriminante di quell'equazione di secondo grado in \(\lambda\) è \(x\cdot y - |x|^2 |y|^2\)... continua tu.

[gugo82]

in merito alla classica dimostrazione della suddetta disuguaglianza: $ | x \cdot y| >=| x| cdot| y| $

Questa non è la "suddetta disuguaglianza"...

[cla29]

correzione: $ | x \cdot y| <=| x| cdot| y| $

[cla29]

ma il discriminante non dovrebbe essere: $ (xcdoty)^2-| x| ^2| y| ^2 $ ?

in questo caso il coefficiente a dell'equazione associata è sicuramente positivo dunque la concavità della parabola è rivolta verso l'alto, ma come faccio ora a escludere la positività del delta, per poi trovare che $ b^2<=4ac $ ?

[gugo82]

Quando è che la disequazione $a lambda^2 + b lambda + c >= 0$ con $a>0$ ha come soluzioni tutti i $lambda in RR$?

[cla29]

quando il segno di a è concorde con il segno della disequazione e il delta è negativo

[gugo82]

[...] e il delta è negativo

Appunto.

E sì, $\Delta/4 = (x*y)^2 - |x|^2 |y|^2$.

[cla29]

ok ho capito e ti ringrazio.

A questo punto oso ancora, e ti chiedo (vi chiedo): qual'è la connessione di questo risultato con la disuguaglianza triangolare?

La dimostrazione della disuguaglianza triangolare che ho studiato non fa uso di Cauchy-Schwarz, ma molti testi dicono che è strettamente connessa a quella triangolare.

Po

[gugo82]

Dipende...

Innanzitutto, in che spazio stai lavorando? $RR^N$? $CC^N$? Uno spazio di Hilbert? Se sì, reale o complesso?

Poi, che dimostrazione hai trovato della disuguaglianza triangolare?

Infine, diciamo di voler dimostrare che $|mathbf(x) + mathbf(y)| <= |mathbf(x)| + |mathbf(y)|$ con $mathbf(x), mathbf(y) in RR^N$.
Per definizione, è:

$|mathbf(x) + mathbf(y)|^2 = (mathbf(x) + mathbf(y))*(mathbf(x) + mathbf(y)) = |mathbf(x)|^2 + 2mathbf(x) * mathbf(y) + |mathbf(y)|^2 \stackrel{"C-S"}{<=} |mathbf(x)|^2 + 2 |mathbf(x)| |mathbf(y)| + |mathbf(y)|^2 = (|mathbf(x)| + |mathbf(y)|)^2$

da cui segue la disuguaglianza triangolare.