Determinare il sottoinsieme H di S5 e verificare che sia un sottogruppo

[sk4p]

Ciao a tutti,
sto studiando i gruppi e sto trovando delle difficoltà nel verificare se le mie affermazioni siano correttamente impostate. Vi allego sotto il mio problema:

Nel gruppo simmetrico \(\displaystyle S_5 \) è assegnato un 3-ciclo \(\displaystyle \sigma \) e una trasposizione \(\displaystyle \pi \) disgiunti. Determinare il sottoinsieme H di \(\displaystyle S_5 \) costituito da tutti i prodotti finito di \(\displaystyle \sigma \) e di \(\displaystyle \pi \) e verificare che H è un sottogruppo di \(\displaystyle S_5 \).

Questa è la mia soluzione: gli elementi in H sono tutti e i soli della forma \(\displaystyle (a, b)(c, d, e) \), cioè il prodotto di una trasposizione e di un 3-ciclo disgiunti, cioè tale che a, b, c, d, e siano distinti. A tal proposito ho pensato che le possibili trasposizioni in \(\displaystyle S_5 \) sono \(\displaystyle \binom{5}{2} = 10 \). Da questo segue che i sottoinsiemi del tipo \(\displaystyle \{ a, b \} \subset \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) sono 10. Per ogni sottinsieme \(\displaystyle \{ a, b \} \) ci sono due permutazioni del tipo cercato e sono: \(\displaystyle (a, b)(c,d,e) \) e \(\displaystyle (a, b)(c, e, d) \). Gli elementi in H sono quindi tutti gli elementi di ordine 6 in \(\displaystyle S_5 \) e sono \(\displaystyle 10\cdot2 = 20 \).

Partendo dalla definizione di sottogruppo, H è diverso da \(\displaystyle \emptyset \). Devo verificare che sia chiuso rispetto all'operazione \(\displaystyle \cdot \), che contenga l'unità e che sia chiuso rispetto agli inversi. Affinchè sia sottogruppo so anche che \(\displaystyle a, b \in H, a^{-1}\cdot b \in H \) è condizione necessaria e sufficiente.

Preso \(\displaystyle \rho_1 \) e \(\displaystyle \rho_2 \) in \(\displaystyle H \) segue che \(\displaystyle \rho_1^{-1} = [(a_1, b_1)(c_1, d_1, e_1)]^{-1} = (a_1, b_1)(c_1,e_1,d_1)\). Supponiamo che \(\displaystyle \rho^{-1}_1=\rho_2 \). Allora \(\displaystyle (a_1, b_1)(c_1,e_1,d_1)\cdot(a_1, b_1)(c_1, e_1, d_1) = (a_1)(b_1)(c_1,d_1,e_1) = (c_1, d_1, e_ 1) \notin H \).

L'inversa esiste, e sono sempre \(\displaystyle (a, b)(c,d,e) \) e \(\displaystyle (a, b)(c, e, d) \) (l'una è l'inversa dell'altra). Infatti, nel primo caso, se \(\displaystyle c \mapsto d \) e \(\displaystyle d \mapsto e \) ed \(\displaystyle e \mapsto c \) ottengo \(\displaystyle c \mapsto e \), \(\displaystyle e \mapsto d \) e \(\displaystyle d \mapsto c \). Nel secondo caso se \(\displaystyle c \mapsto e \), \(\displaystyle e \mapsto d \) e \(\displaystyle d \mapsto c \) ottengo \(\displaystyle c \mapsto d \), \(\displaystyle d \mapsto e \) ed \(\displaystyle e \mapsto c \). La trasposizione rimane invariata.

Il sottoinsieme non è chiuso rispetto all'operazione di \(\displaystyle \cdot \). Infatti preso \(\displaystyle a = b \in H \), facendo \(\displaystyle a \cdot b \) "perdo" la trasposizione.

E' corretto fino a questo punto? si può semplificare? Si può utilizzare una controprova diversa?

In aggiunta potrei anche affermare che (per Lagrange) che i sottogruppi di \(\displaystyle S_5 \) se esistono, il loro ordine \(\displaystyle h \) divide l'ordine di \(\displaystyle S_5 \), dove \(\displaystyle ord(S_5) = 5! = 120 \). Cioè, tale che \(\displaystyle h \cdot k = 120 \). In questo caso \(\displaystyle ord(H) = 20 \), ed esiste l'equazione \(\displaystyle 20 \cdot k = 120\) con \(\displaystyle k = 6 \). Ovviamente, per come ho detto, se H fosse un sottogruppo allora sicuramente dividerebbe l'ordine del gruppo. In questo caso ho già dimostrato che H non è un sottogruppo...

Se avessi notato che l'ordine di H non fosse un divisore di 120 avrei potuto dire immediatamente che H non è un sottogruppo. è corretto quanto ho detto?

Scusate per la lunghezza del post. Ho cercato di scrivere il filo logico che ho seguito in modo che possiate darmi qualche dritta (ben accetta). Grazie in anticipo a tutti voi.

[Overflow94]

Ciao, credo tu abbia interpretato male la domanda.

La trasposizione $pi = (a, b)$ e il ciclo $sigma = (c, d, e) $ sono fissati e disgiunti. L'insieme dei loro prodotti finiti lo intenderei così:

$H={x_1x_2...x_n|(n in NN) ^^ (x_i in {pi, sigma} AAi)}$ (es. ${pi sigma, sigma pi^3 sigma pi, sigma^5} sub H$)

Devi dimostrare che $H$ è un gruppo.

hint. il fatto che $pi$ e $sigma$ siano disgiunti cosa comporta? Chi è l'inverso di $pi$? E quello di $sigma$?

[sk4p]

Caspita, ho svolto completamente un'altro esercizio! La quarantena sta facendo i suoi effetti...

Per dimostrare che \(\displaystyle H \) sia un gruppo devo dimostrare che l'operazione \(\displaystyle \cdot \) definita su \(\displaystyle H \) sia associativa, che esista l'element identità \(\displaystyle id \) e che per ogni elemento \(\displaystyle h \in H \) ci sia l'inverso, cioè tale che \(\displaystyle h^{-1} \in H \).

Elemento identità
Abbiamo detto che \(\displaystyle H \) contiene tutti i prodotti finiti tra la traposizione \(\displaystyle \pi \) e il 3-ciclo \(\displaystyle \sigma \). L'ordine di \(\displaystyle \pi \) è 2, quindi \(\displaystyle \pi^2 = 1 \), mentre quello di \(\displaystyle \sigma \) è uguale a 3, da cui segue \(\displaystyle \sigma^3 = 1 \). Trattandosi del loro prodotto finito, se esiste \(\displaystyle \pi^2 \sigma^3 \in H \) allora \(\displaystyle 1 \in H \). Questo esiste per come è definito \(\displaystyle H \).

L'operazione \(\displaystyle \cdot \) è associativa
Deve valere \(\displaystyle \forall x_1, x_2, x_3 \in H : x_1 \cdot (x_2 \cdot x_3) = (x_1 \cdot x_2 ) \cdot x_3 \). Su questo saprei dire molto... dato che \(\displaystyle H \subset S_5 \) posso dire che è associativa per via dell'operazione di composizione? Non mi convince ma molto purtroppo non saprei come fare altrimenti.

Il fatto che siano disgiunti mi permette di dire che il prodotto è commutativo, e cioè che \(\displaystyle \sigma \pi = \pi \sigma \). Essendo commutativo segue che \(\displaystyle (\pi \sigma)^{-1} = \pi^{-1} \sigma^{-1} \).

Sia \(\displaystyle \pi = (a, b) \) allora \(\displaystyle \pi^{-1} = (b, a) = (a, b) \), cioè il suo inverso non cambia ed esiste per ogni \(\displaystyle \pi \). Per quanto riguarda invece l'inverso di \(\displaystyle \sigma \) , \(\displaystyle \sigma^{-1} = (c, d, e)^{-1} = (c, e, d) = (c, d, e)^2 \).

Combinando le due informazioni, l'inverso del prodotto di \(\displaystyle \pi \sigma \) è dato da \(\displaystyle (\pi \sigma)^{-1} = \pi^{-1} \sigma^{-1} = \pi \sigma^2 \). E' sufficiente per dire che esiste l'inverso per ogni elemento?

Grazie ancora, e scusate se sparo castronate...

[Overflow94]

Gli elementi ci sono tutti ma li ordinerei un po' meglio.

L'operazione di gruppo è associativa su $S_5$ quindi lo è su ogni suo sottoinsieme, quindi anche su $H$. Da ora chiamerò l'operazione di gruppo prodotto.

Il fatto che $pi$ e $sigma$ commutino ci permette di descrivere più semplicemente gli elementi di $H$ raccogliendo tute le loro potenze:

$H={pi^k sigma^m|n>=0, m>=0}$

$H$ è chiuso rispetto al prodotto, infatti: $(pi^(k_1) sigma^(m_1)) (pi^(k_2) sigma^(m_2)) = pi^(k_1 + k_2) sigma^(m_1 + m_2) in H$.

$H$ contiene l'inverso di ogni suo elemento infatti: $(pi^k sigma^m)^-1=(pi^(k') sigma^(m'))^-1= pi^(-k') sigma^(-m')=pi^(2-k')sigma^(3-m') in H$.
Dove con $k'$ intendo $k$ ridotto modulo $2$ e con $m'$ intendo $m$ ridotto modulo $3$ (es. $(pi^57 sigma^32)^-1=(pi sigma^2)^-1=pi sigma$).

Questo è sufficiente per dimostrare che $H$ è un sottogruppo di $S_5$. Notare che il fatto che $pi$ e $sigma$ siano disgiunti, e quindi commutino, è stato utile per semplificare molto la notazione ma non è necessario.

[sk4p]

Grazie mille, adesso è molto più chiaro!