Re: proprietà dell'integrale di Riemann

Messaggioda Aletzunny » 07/03/2020, 11:39

gugo82 ha scritto:La dimostrazione te l’abbiamo scritta io e dissonance.
gugo82 ha scritto:Per ovviare a questo fatto, comincia a vedere cosa accade con funzioni nonnegative, cioè mostra che $f >= 0 text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$.
Dopodiché, riciclati la dimostrazione per il caso $f<=0$.
A questo punto, fai il caso generale: osserva che $f=f^+ + f^-$ (in cui $f^(+-)$ sono parte positiva e parte negativa di $f$)1 e che $f^2 = (f^+)^2 + (f^-)^2$ (il doppio prodotto sparisce... Perché?).
Qui hai finito.

Tu devi solo formalizzare.


Allora il trucco di considerare $fg=(1/4)*[(f+g)^2-(f-g)^2]$ l'ho capito...
Il problema è che non so dimostrare con le funzioni a scala che $f$ integrabile implica $f^2$ integrabile.

Ho provato ieri nel post a scrivere la mia dimostrazioni ma è sbagliata.

Grazie

O almeno se ci fosse un testo dove trovare questa dimostrazione... perché online davvero non trovo nulla

Note

  1. Per la precisione $f^+ = max \{ 0, f\}$ ed $f^(-) = min \{ 0,f\}$.
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Re: proprietà dell'integrale di Riemann

Messaggioda gugo82 » 07/03/2020, 21:33

La tua dimostrazione di $f text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$ è sbagliata perché le disuguaglianze non funzionano come pensi di usarle tu (nel caso in cui $f$ assuma valori negativi)... Su questo pensavo di essere stato abbastanza chiaro.

Ti ho consigliato anche come rimediare, cioè puoi pensare di spezzare la dimostrazione di $f text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$ in tre step: 1) funzioni nonnegative; 2) funzioni nonpositive; 3) caso generale.

Fatto ciò, scatta il trucco suggerito da dissonance per acchiappare l'integrabilità del prodotto.
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Re: proprietà dell'integrale di Riemann

Messaggioda Aletzunny » 07/03/2020, 23:35

gugo82 ha scritto:La tua dimostrazione di $f text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$ è sbagliata perché le disuguaglianze non funzionano come pensi di usarle tu (nel caso in cui $f$ assuma valori negativi)... Su questo pensavo di essere stato abbastanza chiaro.

Ti ho consigliato anche come rimediare, cioè puoi pensare di spezzare la dimostrazione di $f text( integrabile) => f^2 text( integrabile)$ in tre step: 1) funzioni nonnegative; 2) funzioni nonpositive; 3) caso generale.

Fatto ciò, scatta il trucco suggerito da dissonance per acchiappare l'integrabilità del prodotto.


Ci rinuncio e stop onestamente!

Io ci ho provato...ma usando le funzioni a scala che sia $f$ positiva, negativa o di segno costante non vedo altro modo che come, sbagliando, ho scritto sopra.

Grazie lo stesso
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Re: proprietà dell'integrale di Riemann

Messaggioda Aletzunny » 29/03/2020, 22:12

dissonance ha scritto:La terza va sostanzialmente bene, ma dovresti dimostrare che
\[
\int_a^{x_1} f(x)\, dx = \int_a^{x_1} g(x)\, dx, \]
e similmente sugli altri intervallini. In effetti si riduce a dimostrare che, detta \(h:=f-g\), si ha
\[
\int_a^{x_1}h(x)\, dx=0.\]


Ma gli altri intervalli quali sarebbero?
Rivedendola ora mi è venuto questo dubbio.
Grazie
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Re: proprietà dell'integrale di Riemann

Messaggioda dissonance » 30/03/2020, 01:37

Voglio dire che poi occorrerà dimostrare che
\[\int_{x_1}^{x_2}f(x)\,dx=\int_{x_1}^{x_2} g(x)\, dx, \]
etc etc...
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Re: proprietà dell'integrale di Riemann

Messaggioda Aletzunny » 30/03/2020, 06:12

dissonance ha scritto:Voglio dire che poi occorrerà dimostrare che
\[\int_{x_1}^{x_2}f(x)\,dx=\int_{x_1}^{x_2} g(x)\, dx, \]
etc etc...


A ok... che poi però sostanzialmente è lo stesso ragionamento dimostrato sopra per $[a,x_1)$ che si può iterare...o sbaglio?
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Re: proprietà dell'integrale di Riemann

Messaggioda dissonance » 30/03/2020, 12:49

Ma certo, su.
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Re: proprietà dell'integrale di Riemann

Messaggioda Aletzunny » 30/03/2020, 13:10

Grazie
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Re: proprietà dell'integrale di Riemann

Messaggioda dissonance » 30/03/2020, 13:33

Prego. Ricordati: sicurezza in te stesso. Afferma le cose con sicurezza, senza paura di sbagliare. Se sbagli, non è la fine del mondo a patto che ti impegni a capire perché hai sbagliato. Così si impara.
dissonance
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