punti di minimo, massimo e sella funzioni in due variabili

[Aletzunny]

svolgendo gli esercizi mi sono imbattuto in questi due casi:

$1)$ $f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2$
trovo che un punto stazionario è $x=0,y=0$ e
costruendo la matrice Hessiana
$H=[[-4,4],[4,-4]]$ e poichè $detH=0$ non si può dire se il punto $(0,0)$ è un minimo o un massimo o un punto di sella.

$2)$ $f(x,y)=x^3y^2(1-x-y)$
trovo che i punti stazionari sono $(0,0)$ e $(1/2,1/3)$.

per $(1/2,1/3)$ ho calcolato che esso è un punto di massimo.

per $(0,0)$ trovo che la matrice Hessiana è

$H=[[0,0],[0,0]]$ e dunque $detH=0$.

anche in questo caso non si può dire se il punto $(0,0)$ è un minimo o un massimo o un punto di sella.

dunque la mia domanda è: in questi casi come si procede?
Grazie

[gugo82]

Ci sono metodi più o meno standard, anche se nessuno che si applichi in tutti i casi.
Li trovi sui testi di esercizi (ad esempio, c'è qualcosa sul Marcellini & Sbordone).

[Aletzunny]

Ci sono metodi più o meno standard, anche se nessuno che si applichi in tutti i casi.
Li trovi sui testi di esercizi (ad esempio, c'è qualcosa sul Marcellini & Sbordone).

dove potrei riperire il testo?
purtroppo le biblioteche sono chiuse .

[gugo82]

Sul tuo testo/eserciziario? Non c’è nulla?

[Aletzunny]

Sul tuo testo/eserciziario? Non c’è nulla?

No purtroppo i libri per il secondo semestre non li hanno comunicati

[anonymous_0b37e9]

In entrambi gli esercizi, poiché $f(0,0)=0$, l'origine è sicuramente un punto di sella. Infatti, nel primo esercizio:

Asse x

$\{(-sqrt2 lt= x lt= sqrt2),(y=0):} rarr f(x,0)=x^2(x^2-2) lt= 0$

Asse y

$\{(x=0),(-sqrt2 lt= y lt= sqrt2):} rarr f(0,y)=y^2(y^2-2) lt= 0$

Bisettrice 1° e 3° quadrante

$y=x rarr f(x,x)=2x^4 gt= 0$

e nel secondo:

Bisettrice 2° e 4° quadrante

$y=-x rarr f(x,-x)=x^5 rarr \{(x lt 0 rarr f(x,-x) lt 0),(x gt 0 rarr f(x,-x) gt 0):}$

Insomma, in un qualsiasi intorno dell'origine, in cui la funzione è nulla, quest'ultima assume valori opposti.

P.S.
Ovviamente, nel primo esercizio è sufficiente l'analisi lungo uno solo dei due assi.

[gugo82]

Sul tuo testo/eserciziario? Non c’è nulla?

No purtroppo i libri per il secondo semestre non li hanno comunicati

E fatteli comunicare... Invia una mail al docente chiedendogli dei riferimenti.

[Aletzunny]

In entrambi gli esercizi, poiché $f(0,0)=0$, l'origine è sicuramente un punto di sella. Infatti, nel primo esercizio:

Asse x

$\{(-sqrt2 lt= x lt= sqrt2),(y=0):} rarr f(x,0)=x^2(x^2-2) lt= 0$

Asse y

$\{(x=0),(-sqrt2 lt= y lt= sqrt2):} rarr f(0,y)=y^2(y^2-2) lt= 0$

Bisettrice 1° e 3° quadrante

$y=x rarr f(x,x)=2x^4 gt= 0$

e nel secondo:

Bisettrice 2° e 4° quadrante

$y=-x rarr f(x,-x)=x^5 rarr \{(x lt 0 rarr f(x,-x) lt 0),(x gt 0 rarr f(x,-x) gt 0):}$

Insomma, in un qualsiasi intorno dell'origine, in cui la funzione è nulla, quest'ultima assume valori opposti.

P.S.
Ovviamente, nel primo esercizio è sufficiente l'analisi lungo uno solo dei due assi.

Grazie ma questo ragionamento delle bisettrici per determinare che $(0,0)$ è un punto di sella come funziona? Mi sono perso su quello.
Grazie

[gugo82]

Non è un ragionamento "delle bisettrici"... Nel senso: non è un metodo generale.

Qual è la definizione di punto di sella che usi?

[Aletzunny]

Non è un ragionamento "delle bisettrici"... Nel senso: non è un metodo generale.

Qual è la definizione di punto di sella che usi?

onestamente a lezione il punto di sella non è stato definito; quindi ho utilizzato la definizione che si trova sui siti di matematica: un punto di sella è un punto dove al variare delle direzioni si hanno diverse comportamenti per la restrizione della funzione. Dunque in un punto di sella ad esempio per una restrizione di vede che vi è un massimo mentre lungo un'altra direzione lo stesso punto è un minimo.

Ma come faccio a sapere che per forza esisterà un restrizione tale che ci siano sia minimi che massimi.