Differenza tra funzione definita e continua in un punto

[RP-1]

Una funzione è definita in un punto $x_0$ se è noto il valore $y_0: f(x_0) = y_0$;
Una funzione è continua in punto $x_0$ se $\lim_{x \to x_0-} f(x) = \lim_{x \to x_0+} f(x) = f(x_0)$;
Di conseguenza, una funzione definita in un dato punto è sempre in esso continua, giusto? Non a caso ho sempre ricercato i punti di discontinuità in punti di accumulazione per il dominio, come ad esempio gli estremi dell'insieme di definizione nel caso in cui questo sia aperto e limitato. Non capisco però, a livello pratico, quali siano le differenze tra le due definizioni. Mi fareste un esempio per chiarirmi le idee? Ve ne sarei infinitamente grato.

[gugo82]

Una funzione è definita in un punto $x_0$ se è noto il valore $y_0: f(x_0) = y_0$;
Una funzione è continua in punto $x_0$ se $\lim_{x \to x_0-} f(x) = \lim_{x \to x_0+} f(x) = f(x_0)$;
Di conseguenza, una funzione definita in un dato punto è sempre in esso continua, giusto?

Ah, davvero?

Studiamo la funzione:

$f(x) := \{(-1, ", se " x < 0), (0, ", se " x = 0), (1, ", se " x > 0):}$,

va...

[vict85]

La funzione che associa ad ogni numero reale la media delle prime 100 cifre della sua rappresentazione decimale è definita per ogni numero reale.

[dissonance]

Comunque è una buona domanda, è una cosa fondamentale su cui a un certo punto bisogna riflettere. Andrebbe fatto il prima possibile, ma tardi è meglio che mai.

[RP-1]

Una funzione è definita in un punto $x_0$ se è noto il valore $y_0: f(x_0) = y_0$;
Una funzione è continua in punto $x_0$ se $\lim_{x \to x_0-} f(x) = \lim_{x \to x_0+} f(x) = f(x_0)$;
Di conseguenza, una funzione definita in un dato punto è sempre in esso continua, giusto?

Ah, davvero?

Studiamo la funzione:

$f(x) := \{(-1, ", se " x < 0), (0, ", se " x = 0), (1, ", se " x > 0):}$,

va...

Ok, ora è chiaro. Dovrebbe essere un estensione della funzione $f(x) = |x|/x$, definita in $x_0 = 0$ ma discontinua in tal punto poiché $\lim_{x \to x_0-} f(x) = -1 != \lim_{x \to x_0+} f(x) = 1$, nello specifico parliamo di una discontinuità di prima specie, dico bene?

[vict85]

Una funzione è definita in un certo insieme se quell'insieme è un sottospazio del suo dominio. Quindi ogni funzione non vuota ha insiemi su cui è definita. Questo è un concetto insiemistico.
Al contrario, la continuità è un concetto che richiede molta più struttura. In corsi successivi vedrai che la continuità richiede la presenza di una topologia e che \(\mathbb{R}\) ne possiede una con proprietà molto belle (ovvero su cui è molto facile lavorare).

Nota che non ha senso chiedersi la continuità in un punto su cui la funzione non è definita. Il concetto di discontinuità eliminabile non consiste nel chiedersi se la funzione sia continua in quel punto, ma se esiste una estensione di quella funzione, definita in quel punto, che sia continua in quel punto.

Tu sei troppo abituato a pensare a funzioni in termini di \(\sin\), \(\cos\), \(\exp\), \(\log\)... ma queste sono funzioni molto particolari. Infatti, non solo sono funzioni continue, ma sono infinitamente differenziabili. Ma esistono funzioni molto peggiori, su cui non puoi usare le metodologie di analisi che fai nei primi corsi di analisi.