Serie a termini a segno alternato

Messaggioda riccardoob » 30/03/2020, 12:08

Ciao a tutti, ho un problema con una serie a termini a segno alterno. La serie in questione è \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{cos(\frac{\pi}{2}n)}{n}\]
Non so proprio da dove cominciare per studiarne il carattere. Qualche suggerimento? Grazie in anticipo.
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Re: Serie a termini a segno alternato

Messaggioda Mephlip » 30/03/2020, 12:19

Ciao! Benvenuto sul forum.
Le regole richiedono che tu scriva almeno un tentativo di risoluzione, comunque ti do un indizio: suddividi i casi per $n$ dispari ed $n$ pari.
Fatto ciò, che criteri conosci per le serie a termini di segno alterno?
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Re: Serie a termini a segno alternato

Messaggioda gugo82 » 30/03/2020, 14:31

Innanzitutto, sei sicuro che questa serie sia a segni alterni?
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Re: Serie a termini a segno alternato

Messaggioda pilloeffe » 30/03/2020, 16:17

Ciao riccardoob,
riccardoob ha scritto:Non so proprio da dove cominciare per studiarne il carattere.

Bellina... Non solo converge, ma è anche abbastanza agevole determinarne la somma:

$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{cos(\frac{\pi}{2}n)}{n} = -1/2 ln(2) $
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Re: Serie a termini a segno alternato

Messaggioda riccardoob » 30/03/2020, 16:51

Mephlip ha scritto:Ciao! Benvenuto sul forum.
Le regole richiedono che tu scriva almeno un tentativo di risoluzione, comunque ti do un indizio: suddividi i casi per $n$ dispari ed $n$ pari.
Fatto ciò, che criteri conosci per le serie a termini di segno alterno?

In che senso separare i casi per $n$ pari o dispari? Comunque conosco solo il criterio di Leibniz per questo tipo di serie.
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Re: Serie a termini a segno alternato

Messaggioda Mephlip » 30/03/2020, 20:04

Nel senso che suddividi lo studio in due casi che lo facilitano: per $n$ pari hai che $n$ si scrive come $2m$ con $m\in\mathbb{N}$ e per $n$ dispari hai che $n$ si scrive come $2m+1$ con $m\in\mathbb{N}$.
Ok, tuttavia il criterio di Leibniz si usa per termini di segno alterno; quindi torniamo alla domanda che ti ha fatto gugo82.
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Re: Serie a termini a segno alternato

Messaggioda riccardoob » 31/03/2020, 09:23

Mephlip ha scritto:Nel senso che suddividi lo studio in due casi che lo facilitano: per $n$ pari hai che $n$ si scrive come $2m$ con $m\in\mathbb{N}$ e per $n$ dispari hai che $n$ si scrive come $2m+1$ con $m\in\mathbb{N}$.
Ok, tuttavia il criterio di Leibniz si usa per termini di segno alterno; quindi torniamo alla domanda che ti ha fatto gugo82.

Ok ho separato i casi pari e dispari: per valori pari di $n$, il valore di \(\cos({\frac{\pi}{2}n)}\) oscilla tra $1$ e $-1$, per valori dispari di $n$ vale $0$; per questo credo che la serie sia a segni alterni.
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Re: Serie a termini a segno alternato

Messaggioda gugo82 » 31/03/2020, 13:38

“Credo che” Matematica non è; Matematica “essere” o “non essere” è. (Cit. Yoda)
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Re: Serie a termini a segno alternato

Messaggioda pilloeffe » 31/03/2020, 15:24

gugo82 ha scritto:“Credo che” Matematica non è; Matematica “essere” o “non essere” è. (Cit. Yoda)

:lol: :lol: :lol: Questa è fantastica... :wink:

@riccardoob
Seguendo il suggerimento che ti ha già dato Mephlip si ha:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{cos(\frac{\pi}{2}n)}{n} = {(\sum_{m=1}^{+\infty} \frac{cos(m\pi)}{2m} \text{ per } n = 2m \text{ pari}),(),(0 \qquad \qquad \text{ per } n=2m + 1 \text{ dispari}):}$

Quindi?
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