Serie a termini a segno alternato

[riccardoob]

Ciao a tutti, ho un problema con una serie a termini a segno alterno. La serie in questione è \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{cos(\frac{\pi}{2}n)}{n}\]
Non so proprio da dove cominciare per studiarne il carattere. Qualche suggerimento? Grazie in anticipo.

[Mephlip]

Ciao! Benvenuto sul forum.
Le regole richiedono che tu scriva almeno un tentativo di risoluzione, comunque ti do un indizio: suddividi i casi per $n$ dispari ed $n$ pari.
Fatto ciò, che criteri conosci per le serie a termini di segno alterno?

[gugo82]

Innanzitutto, sei sicuro che questa serie sia a segni alterni?

[pilloeffe]

Ciao riccardoob,

Non so proprio da dove cominciare per studiarne il carattere.

Bellina... Non solo converge, ma è anche abbastanza agevole determinarne la somma:

$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{cos(\frac{\pi}{2}n)}{n} = -1/2 ln(2) $

[riccardoob]

Ciao! Benvenuto sul forum.
Le regole richiedono che tu scriva almeno un tentativo di risoluzione, comunque ti do un indizio: suddividi i casi per $n$ dispari ed $n$ pari.
Fatto ciò, che criteri conosci per le serie a termini di segno alterno?

In che senso separare i casi per $n$ pari o dispari? Comunque conosco solo il criterio di Leibniz per questo tipo di serie.

[Mephlip]

Nel senso che suddividi lo studio in due casi che lo facilitano: per $n$ pari hai che $n$ si scrive come $2m$ con $m\in\mathbb{N}$ e per $n$ dispari hai che $n$ si scrive come $2m+1$ con $m\in\mathbb{N}$.
Ok, tuttavia il criterio di Leibniz si usa per termini di segno alterno; quindi torniamo alla domanda che ti ha fatto gugo82.

[riccardoob]

Nel senso che suddividi lo studio in due casi che lo facilitano: per $n$ pari hai che $n$ si scrive come $2m$ con $m\in\mathbb{N}$ e per $n$ dispari hai che $n$ si scrive come $2m+1$ con $m\in\mathbb{N}$.
Ok, tuttavia il criterio di Leibniz si usa per termini di segno alterno; quindi torniamo alla domanda che ti ha fatto gugo82.

Ok ho separato i casi pari e dispari: per valori pari di $n$, il valore di \(\cos({\frac{\pi}{2}n)}\) oscilla tra $1$ e $-1$, per valori dispari di $n$ vale $0$; per questo credo che la serie sia a segni alterni.

[gugo82]

“Credo che” Matematica non è; Matematica “essere” o “non essere” è. (Cit. Yoda)

[pilloeffe]

“Credo che” Matematica non è; Matematica “essere” o “non essere” è. (Cit. Yoda)

Questa è fantastica...

@riccardoob
Seguendo il suggerimento che ti ha già dato Mephlip si ha:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{cos(\frac{\pi}{2}n)}{n} = {(\sum_{m=1}^{+\infty} \frac{cos(m\pi)}{2m} \text{ per } n = 2m \text{ pari}),(),(0 \qquad \qquad \text{ per } n=2m + 1 \text{ dispari}):}$

Quindi?