Integrali di funzioni semplici.

[3m0o]

Avrei una domanda se quanto fatto da me è legittimo oppure se ha bisogno di una giustificazione più chiara.
Sia \( \varphi \) una funzione semplice e misurabile. Dimostra le asserzioni seguenti (per il seguito intendo la misura di Lebesgue e l'integrale di Lebesgue)
1) Per ogni \( E \) misurabile allora
\[ \int_E \varphi = \sum\limits_{i=1}^{n} a_i m(A_i \cap E) \]

2) Siano \(E_i \) degli insiemi misurabili e a due a due disgiunti. E poniamo \[ E= \bigcup_{i=1}^{\infty} E_i \]
Allora
\[ \int_{E} \varphi = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \int_{E_i} \varphi \]

Per il punto 1) ho fatto così.
Poniamo \[ \varphi = \sum\limits_{i=1}^{n} a_i \chi_{A_i} \]
Allora abbiamo che
\[ \int_{E} \varphi = \int_{\mathbb{R} } \varphi \cdot \chi_{E} \]
Dove l'uguaglianza è giustificata siccome la definizione di integrale per le funzioni semplici e quella per le funzioni non negative è coincide quando la funzione non negativa è una funzione semplice.

Inoltre \[ \varphi \cdot \chi_{E} = \sum\limits_{i=1}^{n} a_i \chi_{A_i \cap E} \] ed è ancora una funzione semplice pertanto per la definizione di integrale per le funzioni semplici abbiamo che
\[ \int_{\mathbb{R} } \varphi \cdot \chi_{E} =\sum\limits_{i=1}^{n} a_i m(A_i \cap E) \]

Per il punto 2) ho fatto così.

\[ \int_{E} \varphi = \int_{\mathbb{R} } \varphi \cdot \chi_{E} \]
Nuovamente come prima abbiamo che
\[ \varphi \cdot \chi_{E} = \sum\limits_{i=1}^{n} a_i \chi_{A_i \cap E} \overset{\text{(1)}}{=} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{\infty} a_i \chi_{A_i \cap E_j} \overset{\text{(2)}}{=} \sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{n} a_i \chi_{A_i \cap E_j} = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \varphi \cdot \chi_{E_j} \]
Dove (1) è giustificato siccome gli \( E_i \) sono a due a due disgiunti e (2) è giustificato siccome una delle due somme è finita. Dunque deduciamo che
\[ \int_{\mathbb{R} } \varphi \cdot \chi_{E} = \int_{\mathbb{R} } \sum_{j=1}^{\infty} \varphi \cdot \chi_{E_j} \overset{\text{(3)}}{=} \sum_{j=1}^{\infty} \int_{\mathbb{R} } \varphi \cdot \chi_{E_j} = \sum_{j=1}^{\infty} \int_{E_j} \varphi \]
Il mio dubbio sta in nell uguaglianza (3), non è vero a priori?
Dovrei agire forse così?

\[ \sum\limits_{i=1}^{n} m(A_i \cap E) = \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{\infty} m(A_i \cap E_j) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{n} m(A_i \cap E_j) \]
E dunque
\[ \int_{E} \varphi = \sum\limits_{i=1}^{n} a_i m(A_i \cap E ) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{n} a_i m(A_i \cap E_j) =\sum_{j=1}^{\infty} \int_{E_j} \varphi \]
Dove la prima uguaglianza la deduciamo dal punto 1)

[Bremen000]

[...] semplice e misurabile. [...]

Le funzioni semplici sono già misurabili per definizione, a meno che tu non abbia qualche strana definizione, ma non mi sembra. Cioè mi pare che tu usi che una funzione semplice è del tipo
\[ \varphi(x) = \sum_{i=1}^n a_i \chi_{A_i}(x), \quad x \in X \]
con \( \{A_i\}_{i=1}^n \subset \mathcal{M} \) disgiunti, \( \{a_i\}_{i=1}^n \subset \mathbb{R} \) e $n \in \mathbb{N}$. Qui sto considerando un generico spazio misurabile \( (X, \mathcal{M}) \) che nel tuo caso è (credo, siccome non lo scrivi) \( ( \mathbb{R}, \mathcal{M} ) \) ove \( \mathcal{M} \) è la sigma-algebra di Lebesgue.

Mi sai dire, quindi, perché una funzione semplice è misurabile?

Poi la tua proposizione 1) è quella che io uso come definizione di integrale di una funzione semplice su un insieme misurabile $E$. Quale è la tua definizione di integrale di una funzione semplice su un misurabile $E$? Che libro usi?

Ho il sospetto che tu definisca solo l'integrale di una funzione semplice su tutto lo spazio e poi, osservando che il prodotto di una funzione semplice per un'indicatrice è ancora una funzione semplice, definisci l'integrale di una funzione semplice $\varphi$ su un misurabile $E$ come l'integrale su tutto lo spazio di \( \varphi \chi_E \).
E' così?

[3m0o]

Allora no, non ho davvero capito il motivo dei due nota bene i) e ii) ma secondo la definizione che ho, le funzioni semplici non sono misurabili. (edit 2) forse per il nota bene i) se prendi un \( A_i \) come l'insieme di Vitali, beh non è misurabile e dunque \( \varphi \) non è misurabile.
Definizione di funzione semplice
Diciamo che \( \varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+ \) è una funzione semplice se \( \operatorname{card}(\varphi(\mathbb{R}) < \infty \) e in più se \( \varphi(\mathbb{R})=\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \} \) con \( a_1,\ldots, a_n \geq 0 \) distinti e se
\[ A_i : = \{ x \in \mathbb{R} : \varphi(x) = a_i \} \] e abbiamo che
\[ \varphi(x) = \sum\limits_{i=1}^{n} a_i \chi_{A_i}(x) \]

Nota bene:
i) \( \varphi \) è misurabile se e solo se \(A_i \in \mathcal{M} \)
ii) Gli \( (A_i)_{i=1}^{n} \) formano una partizione di \( \mathbb{R} \).

Definizione di integrale:
i) Se \( \varphi \) è una funzione semplice misurabile allora
\[ \int \varphi = \sum\limits_{i=1}^{n} a_i m(A_i) \]
ii) Se \( f \) è misurabile e \( f \geq 0 \) allora
\[ \int f = \sup_{\varphi} \begin{Bmatrix} \int \varphi : 0 \leq \varphi \leq f, \varphi \ \text{misurabile e semplice} \end{Bmatrix} \]
iii) Se \( E \) è misurabile e \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+ \cup \{ \infty \} \) è misurabile allora
\[ \int_{E} f = \int f \cdot \chi_{E} \]


Nota bene:
Se \( \varphi \geq 0 \) è misurabile e semplice le due definizioni i) e ii) concidono.

Per lo spazio di misura si è quello, solo che il nostro prof se non lo specifica utilizza quella e sono abituato a non specificarla per convenzione.

Ps: ed è proprio una proposizione la proposizione 1) che nelle correzioni degli esercizi c'è scritto " il punto 1 è elementare " quindi mi chiedevo se il modo in cui ho fatto io andava bene.

Edit:

Ho il sospetto che tu definisca solo l'integrale di una funzione semplice su tutto lo spazio e poi, osservando che il prodotto di una funzione semplice per un'indicatrice è ancora una funzione semplice, definisci l'integrale di una funzione semplice $\varphi$ su un misurabile $E$ come l'integrale su tutto lo spazio di \( \varphi \chi_E \).
E' così?

Questa è la mia idea di come dimostrare quelle due proposizioni. Siccome l'integrale di una funzione semplice misurabile coincide con quella di una funzione non negativa cerco sfruttare il fatto che un indicatrice su un misurabile per una semplice misurabile rimane una semplice misurabile perché l'intersezione di misurabili rimane misurabile e dunque sfrutto la definizione.
\[ \int_{E} f = \int_{\mathbb{R}} f \chi_{E} \]

[Bremen000]

Ok, ora mi è tutto molto più chiaro. Per ora mi hai scritto solo la definizione di integrale per funzioni misurabili e positive su un generico insieme misurabile $E$. Quindi assumo che in quello che hai scritto la tua $\varphi$ sia positiva. Tu quindi avresti
\[ \int_E \varphi := \int_{\mathbb{R}} \varphi \chi_E \]
ma noti che $\varphi \chi_E$ è semplice. Come infatti scrivi

[...]
Inoltre \[ \varphi \cdot \chi_{E} = \sum\limits_{i=1}^{n} a_i \chi_{A_i \cap E} \] ed è ancora una funzione semplice pertanto per la definizione di integrale per le funzioni semplici abbiamo che
\[ \int_{\mathbb{R} } \varphi \cdot \chi_{E} =\sum\limits_{i=1}^{n} a_i m(A_i \cap E) \]
[...]

e quindi il punto 1. è corretto.

Per quanto riguarda il punto 2.

[...]
Il mio dubbio sta in nell uguaglianza (3), non è vero a priori?
[...]

No, a priori non è vero. Comunque, se ho capito a che punto della teoria dell'integrazione sei, ti faranno vedere presto che quello scambio serie-integrale è sempre lecito se le funzioni che stai integrando sono misurabili e non negative, come nel tuo caso.

Quindi la prima dimostrazione, a meno di sapere che la proprietà (3) è vera, non va bene. Invece così

[...]
Dovrei agire forse così?

\[ \sum\limits_{i=1}^{n} m(A_i \cap E) = \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{\infty} m(A_i \cap E_j) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{n} m(A_i \cap E_j) \]
E dunque
\[ \int_{E} \varphi = \sum\limits_{i=1}^{n} a_i m(A_i \cap E ) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{n} a_i m(A_i \cap E_j) =\sum_{j=1}^{\infty} \int_{E_j} \varphi \]
Dove la prima uguaglianza la deduciamo dal punto 1)

è perfetto

[3m0o]

Quindi assumo che in quello che hai scritto la tua $\varphi$ sia positiva.

Non lo è per definizione? Siccome gli \( a_i \) sono positivi?

No, a priori non è vero. Comunque, se ho capito a che punto della teoria dell'integrazione sei, ti faranno vedere presto che quello scambio serie-integrale è sempre lecito se le funzioni che stai integrando sono misurabili e non negative, come nel tuo caso.

In realtà sono un po' indietro che non riesco troppo bene a studiare da casa e siccome i corsi e la mia università ha chiuso e siamo passati online ho preso ritardo! Sto cercando ora di recuperare...

Detto ciò siccome parliamo di permutazione di integrali con serie ne approfitto per chiedere una delucidazione nell'enunciato del teorema della convergenza monotona c'è una cosa che non capisco.
Siano \( f_n, f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+ \cup \{ \infty \} \) misurabili tale che \( f_n \to f \) e \( f_n \) successione crescente e tale che \( \forall x \in \mathbb{R} \) abbiamo che \( \lim_{n \to \infty} f_n(x)= f(x) \) (quindi la convergenza è puntuale),
Allora
\[ \lim_{n \to \infty} \int f_n = \int \lim_{n \to \infty} f_n = \int f \]

Ora nella dimostrazione il prof dimostra
\[\lim_{n \to \infty} \int f_n = \int f \]
Ma
\[ \lim_{n \to \infty} \int f_n = \int \lim_{n \to \infty} f_n \]
non lo dimostra. Si è sbagliato a scriverlo nell'enunciato oppure no, perché se non ricordo male dal corso di analisi 1 per permutare limiti e integrali serve la convergenza uniforme.

Altra curiosità siccome le funzioni prendono valore in \( \mathbb{R}_+ \cup \{ \infty \} \) se \( \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \infty \) allora converge puntualmente comunque?

[Bremen000]

Non lo è per definizione? Siccome gli \( a_i \) sono positivi?

Si, non avevo letto bene la tua definizione.

[...]
Siano \( f_n, f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+ \cup \{ \infty \} \) misurabili tale che \( f_n \to f \) e \( f_n \) successione crescente e tale che \( \forall x \in \mathbb{R} \) abbiamo che \( \lim_{n \to \infty} f_n(x)= f(x) \) (quindi la convergenza è puntuale),
[...]

Questo è un po' ripetitivo. A scanso di equivoci.

Teorema della convergenza monotona
Siano \( f_n, f : \mathbb{R} \to [0, + \infty] \) funzioni (Lebesgue) misurabili tali che
\begin{align*}
\lim_{n \to + \infty} f_n(x) &= f(x) \quad &\forall \, x \in \mathbb{R} \\
f_n(x) &\le f_{n+1}(x) \quad &\forall \, n \ge 1 \quad x \in \mathbb{R}.
\end{align*}
Allora \[ \lim_{n \to + \infty} \int_{\mathbb{R}} f_n = \int_{\mathbb{R}} f.\]

Nota che la convergenza delle $f_n$ a $f$ è solo ed esclusivamente puntuale. La scrittura $\lim_n f_n$ è solo un simbolo per indicare $f$ e per enfatizzare che stai scambiando limite e integrale. Quindi

[...]
Ora nella dimostrazione il prof dimostra
\[ \lim_{n \to \infty} \int f_n = \int f \]
[...]

è solo ed esattamente quello che va dimostrato.

[...] perché se non ricordo male dal corso di analisi 1 per permutare limiti e integrali serve la convergenza uniforme.[...]

Ora hai un nuovo tipo di integrale (hai già visto quando integrale di Riemann e integrale di Lebesgue coincidono?) e dei nuovi teoremi per scambiare limite e integrale. Questo è uno di essi.

[...]Altra curiosità siccome le funzioni prendono valore in \( \mathbb{R}_+ \cup \{ \infty \} \) se \( \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \infty \) allora converge puntualmente comunque?

In questo contesto il valore $+ \infty$ è un numero come gli altri. Può essere quindi, ad esempio, che la funzione $f$ valga $+ \infty$ in $3$, per dire. E quindi avrai che $\lim_n f_n(3) = + \infty$.

[3m0o]

Mi sono reso conto il motivo per cui non capivo.... il prof ha scritto nell'enunciato un typo (infatti inizialmente l'ho scritto pure io qui, poi ho editato) ovvero
\[ \lim_{x \to \infty} f_n(x) = f(x) \]
e poi nell'integrale ha scritto
\[ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \]
e quindi pensavo fossero due cose diverse.... invece no è la convergenza puntuale e quindi evidentemente
\[ \int \lim_{n \to \infty} f_n = \int f \]

[3m0o]

Grazie per la risposta, per la permutazione ho capito comunque come dico nel messaggio precedente ho fatto confusione su un errore... e mi sono impappinato nei ragionamenti

Ora hai un nuovo tipo di integrale (hai già visto quando integrale di Riemann e integrale di Lebesgue coincidono?) e dei nuovi teoremi per scambiare limite e integrale. Questo è uno di essi.

No per per Riemann e Lebesgue, mentre per il resto quindi è sufficiente la crescenza della successione e la convergenza puntuale per permutare limite ed integrale?
E immagino che laddove Lebesgue e Riemann coincidano risulta che la mia serie di successioni crescenti convergano uniformemente.

[Bremen000]

[...] per il resto quindi è sufficiente la crescenza della successione e la convergenza puntuale per permutare limite ed integrale?
[...]

Be', per esempio in questo teorema che abbiamo appena visto, sì, basta quello. Ma ce ne sono altri. Il più famoso è il teorema della convergenza dominata, li vedrai presto.

[...]
E immagino che laddove Lebesgue e Riemann coincidano risulta che la mia serie di successioni crescenti convergano uniformemente.

No, la convergenza uniforme su un compatto è condizione sufficiente ma non è necessaria. Per esempio la successione di funzioni \( f_n : [0,1] \to \mathbb{R} \) definita come \[ f_n(x) = \begin{cases} 0 \quad &\text{ if } 0 \le x \le \frac{1}{n} \\ nx-1 \quad &\text{ if } \frac{1}{n} \le x \le \frac{2}{n} \\ 1 \quad &\text{ if } \frac{2}{n} \le x \le 1 \end{cases} \]
converge puntualmente a \( f : [0,1] \to \mathbb{R} \) definita come
\[ f(x) = \begin{cases} 0 \quad & \text{ if } x=0 \\ 1 \quad &\text{ if } 0 < x \le 1. \end{cases} \]
La convergenza non è uniforme (perché?) ma comunque il teorema si applica.
E in questo caso, come studierai, gli integrali di Riemann e Lebesgue di tutte queste funzioni sono gli stessi.