Denoto \( (\mathbb{R}, \mathcal{M},m) \) lo spazio di misura di Lebesgue e \( (\mathbb{R},\mathcal{B},m) \) lo spazio di misura di Borel.
Dimostra che se \( \varphi \) è misurabile (Leb.) e \(f \) continua abbiamo che \( f \circ \varphi \) è misurabile (Leb.). Trova un controesempio per \( \varphi \circ f \).
Allora per la dimostrazione ho fatto:
Abbiamo che \( ]\alpha, \infty[ \) è un aperto e per continuità di \( f \) è dunque un intervallo (aperto) dunque \( f^{-1}(]\alpha, \infty[) \in \mathcal{B} \), poiché \( \mathcal{B} \) è la sigma algebra più piccola che contiene tutti gli intervalli, e dunque \( \varphi^{-1}(f^{-1}(]\alpha, \infty[)) \in \mathcal{M}\)
Pertanto \( \forall \alpha \) abbiamo che
\[A_{\alpha}(f\circ \varphi)= \{ x \in \mathbb{R} : f(\varphi(x)) > \alpha \} \]
è misurabile, infatti se \( x \in A_{\alpha}(f\circ \varphi) \) allora è tale che \( f(\varphi(x)) \in ] \alpha, \infty[ \) e risulta dunque che \( x \in \varphi^{-1} ( f^{-1}(] \alpha, \infty[)) \). E dunque \(A_{\alpha}(f\circ \varphi) \) è misurabile.
Per il contro esempio non riesco a trovarle...