Dal momento che:
\begin{equation}
\bigg|\frac{e^{i x^2 } }{1+x^2}\bigg| \le \frac{1}{1+x^2} \in \mathscr{L}^1(\mathbb{R}^+, dx)
\end{equation}
possiamo considerare il cambio di variabile
1:
\begin{equation}
x' \doteq e^{- i\frac{\pi}{4}} x
\end{equation}
tale che:
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{i x^2 } }{1+x^2} dx = e^{ i\frac{\pi}{4}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-x^2}}{1+ix^2} dx
\end{equation}
Consideriamo, per $\alpha\in [\varepsilon, +\infty)$ con $\varepsilon>0$, la funzione integrale:
\begin{equation}
I(\alpha) = 2 e^{ i\frac{\pi}{4}} \int_0^{\infty} \frac{e^{i \alpha(i x^2 +1)} e^{-i}}{1+i x^2} dx
\end{equation}
che si riduce all'integrale richiesto per $\alpha=1$. Usando il corollario della teorema della convergenza dominata, dal momento che:
\begin{equation}
\bigg|e^{i \alpha(i x^2 +1)} e^{-i}\bigg| = e^{-\alpha x^2} \le e^{-\varepsilon x^2} \in \mathscr{L}^1(\mathbb{R}^+, dx)
\end{equation}
possiamo calcolare la derivata di $I(\alpha)$:
\begin{equation}
\begin{aligned}
I'(\alpha) &= \frac{d}{d \alpha} \bigg[2e^{ i\frac{\pi}{4}} \int_0^{\infty} \frac{e^{i \alpha(i x^2 +1)} e^{-i}}{1+i x^2} dx \bigg]\\
&= 2 e^{ i\frac{\pi}{4}} \int_0^{\infty} \frac{\partial}{\partial \alpha} \frac{e^{i \alpha(i x^2 +1)} e^{-i}}{1+i x^2} dx \\
&= 2 e^{ i\frac{3 \pi}{4}} e^{-i} \int_0^{\infty} e^{i \alpha(i x^2 +1)} dx\\
&= e^{ i\frac{3 \pi}{4}} e^{-i} e^{i \alpha} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}
\end{aligned}
\end{equation}
Per regolarizzare il risultato a tutto il piano complesso, osserviamo che $I(\alpha)$ è una funzione olomorfa in $\alpha$ (è sufficiente scriverne lo sviluppo di Taylor oppure sfruttare il teorema di Morera scambiando l'integrale di linea complesso e quello reale mediante il teorema di Fubini), pertanto lo è anche la sua derivata. Nei punti in cui non posso sfruttare il teorema della convergenza dominata per portare la derivata sotto il segno di integrale, posso considerare come $I(\alpha)$ la sua continuazione analitica nei vari punti del piano complesso.
Per trovare $I = I(1)$, è sufficiente a questo punto sfruttare il teorema fondamentale del calcolo integrale scegliendo in modo comodo gli estremi di integrazione. In particolare, osservando che per $\alpha =0$, la funzione $I(\alpha)$ è facilmente calcolabile, si ha che:
\begin{equation}
\begin{aligned}
I(1) &= \int_0^{1} I'(\alpha) d \alpha + I(0)\\
&= e^{-i} e^{i \frac{3 \pi}{4}} \sqrt{\pi} \int_0^1 \alpha^{-\frac{1}{2}} e^{i \alpha} d \alpha + 2 e^{-i}\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx\\
&= e^{-i} e^{i \frac{3 \pi}{4}} \sqrt{\pi} \int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n}{n!} \alpha^{n-\frac{1}{2}} d \alpha + e^{-i} \pi\\
&= e^{-i} e^{i \frac{3 \pi}{4}} \sqrt{\pi} \bigg[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n}{n!} \frac{1}{n+ \frac{1}{2}} \bigg] + e^{-i} \pi
\end{aligned}
\end{equation}
Ricordando il seguente sviluppo in serie (che può essere facilmente ricavato integrando termine a termine lo sviluppo in serie di Taylor di $e^{-x^2}$):
\begin{equation}
erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n }{n!} \frac{x^{2n+1}}{2n+ 1}
\end{equation}
si ha che:
\begin{equation}
e^{i \frac{3 \pi}{4}} \sqrt{\pi} \bigg[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n}{n!} \frac{1}{n+ \frac{1}{2}} \bigg] = \pi erf\bigg[\exp\bigg({i \frac{3 \pi}{4}}\bigg)\bigg]
\end{equation}
Da cui:
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i x^2} }{1+x^2} dx = \pi e^{-i} \bigg[erf\bigg((-1)^{\frac{3}{4}}\bigg)+ 1 \bigg]
\end{equation}
