Studio funzione a 2 variabili

[Qwerty79]

Devo calcolare i punti di massimo e di minimo della seguente funzione
$f(x,y)=(x^2+y^2)e^-(x^2+y^2)$

Calcolando le derivate prime parziali arrivo ad avere il seguente sistema
$\{(2xe^-(x^2+y^2)(1-x^2-y^2)=0),(2ye^-(x^2+y^2)(1-x^2-y^2)=0):}$

ma a questo punto non riesco a risolvere il sistema. Mi sembra molto complesso.

Grazie

[Mephlip]

Suggerimento: $e^{-(x^2+y^2)}\ne0$ per ogni $(x,y)\in\mathbb{R}^2$.

[Qwerty79]

Quindi il sistema mi da come soluzione $(x,y)=(0,0)$

[Mephlip]

Quella è una soluzione, ma ce ne sono altre. Sicuro di sapere risolvere i sistemi in generale?
Questi sono prerequisiti. È importante fissarli, ti aiuto ma devo sapere dov'è il problema.

[gugo82]

La funzione $f$ è radiale, cioè dipende unicamente dal(quadrato del)la distanza di $(x,y)$ da $(0,0)$; conseguentemente, gli estremi di $f$ sono presi su circonferenze di centro $(0,0)$ aventi raggi uguali ai valori positivi che danno gli estremi alla funzione $f(r) := r e^(-r)$ definita in $[0,+oo[$.

[Qwerty79]

Mi stai dicendo che devo considerare $1-x^2-y^2$ come una circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $r=1$
Diciamo che questo genere di funzione mi sta dando non pochi problemi.
Grazie mille per l'aiuto.

[gugo82]

Vediamo di sgombrare il campo da equivoci:

• $1-x^2-y^2$ è un polinomio, non una circonferenza;
  
  
• $1-x^2-y^2 = 0$ è un'equazione, non una circonferenza;
  
  
• questa:
  
          Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico
  
  
  è una circonferenza nel piano euclideo, quella di centro $O$ e raggio $r$;
  
  
• questa:
  
          Internet Explorer richiede Adobe SVG Viewer per visualizzare il grafico
  
  
  è una circonferenza nel piano cartesiano, quella di centro $O=(0,0)$ e raggio $r=1$.

Nel piano cartesiano, la circonferenza di centro $O=(0,0)$ e raggio $r=1$ ha equazione $1-x^2-y^2=0$.

Inoltre, comunque, non ti sto suggerendo niente di diverso da quel che ho detto.
La tua funzione $f(x,y)$ è una funzione composta da $f(r):=r e^(-r)$ (componente esterna) e da $r(x,y)=x^2+y^2$ (componente interna), cioè $f(x,y) = f(r(x,y))$.
Per il teorema di derivazione delle funzioni composte, hai $nabla f(x,y) = f^\prime (r(x,y))\cdot nabla r(x,y)$, quindi i punti stazionari di $f(x,y)$ sono:

1. o i punti stazionari per $r(x,y)$, cioè quelli che annullano $nabla r(x,y)$;
   
   
2. o i punti che corrispondono a valori di $r$ stazionari per $f^\prime (r)$, cioè quelli che giacciono su una curva del tipo $r(x,y) = r_0$ con $r_0$ soluzione di $f^\prime (r)=0$.

Facendo i calcoli, si vede che $nabla r(x,y)=(2x,2y)=(0,0) <=> x=0=y$, quindi l'unico punto stazionario di tipo 1 è $O$; mentre, visto che $f^\prime (r) = (1-r)e^(-r)$, gli unici punti stazionari di tipo 2 sono quelli della curva $x^2 + y^2 =1$.

Dato che $f(x,y) >=0$ in tutto $RR^2$, chiaramente $O$ è di minimo assoluto.
Inoltre, visto che per $r_0=1$ la funzione $f(r)$ prende il suo massimo assoluto, i.e. $f(r) <= f(1), AA r >= 0$, la funzione $f(x,y)$ prende il massimo assoluto nei punti della curva di equazione $r(x,y)=1 <=> x^2 + y^2 = 1$, che è la circonferenza di centro $O$ e raggio $1$.