|x -y|^2 non è una metrica in R

[universo]

Esercizio: dire se $|x - y|^2$ è una metrica in $\mathbb{R}$.
Svolgimento:

• $|x -y|^2 \geq 0$ per definizione;
• $|x -y|^2 = 0 \Leftrightarrow x = y$ vien da sé;
• $|x -y|^2 = |y - x| ^2$ è naturalmente vera per definizione;
• $|x -y|^2 = |(x -z) + (z -y)|^2 \leq |x - z|^2 + |z -y| ^ 2$

A me risulta che la funzione assegnata sia una metrica, ma sul testo è scritto il contrario. Devo essere cascato su di una qualche banalità come al solito.

[Mephlip]

La quarta che hai scritto è falsa, prova a confutarla; inoltre, se hai usato la disuguaglianza triangolare dovresti scrivere $|x-y|^2 =|x-z+z-y|^2 \leq (|x-z|+|z-y|)^2$.
Per completezza: come dimostri le proprietà (2) e (3)? "Vien da sé" e "per definizione" potrebbero celare delle mancanze che è meglio riparare il prima possibile.

[universo]

Rispondo per quanto riguarda i due punti:
(2) $|x -y| ^ 2 = 0 \Leftrightarrow x = y$ infatti se $x = y$ allora $|x -y| ^ 2 = |x -x| ^ 2 = 0$, viceversa se $|x -y| ^ 2 = 0 $ allora $|x -y| ^ 2 \Rightarrow |x -y| = 0 $ ossia $x -y = 0$ con $x \geq y$ unito $-x +y = 0$ con $x \leq y$ da cui $x = y$
(3) analogamente al punto (2) $|x -y| ^ 2 = |y -x| ^ 2 \Rightarrow |x -y| = |y - x|$ da cui si ricavano quattro noiosi sistemi misti ottenuti dalle ipotesi $x geq y$ e $x \leq y$. Se necessario riporto tutti e quattro i sistemi ma essendo impegnativa la stesura degli stessi in LaTeX provo a farmi comprendere con quel che ho scritto.

[Mephlip]

No tranquillo, non sono così sadico da chiederti tutti quei conti
Sì, anche se molto più semplicemente: per la (2) se $|x-y|=0$ per le proprietà del modulo questo è vero se e solo se $x-y=0$ e dunque concludi (questo diciamo che lo deduci da conoscenze pregresse, che sostanzialmente si dimostrano come hai fatto tu ma a questo livello puoi omettere).
Per la (3) invece basta notare che $|x-y|=|-(y-x)|=|-1|\cdot|y-x|=|y-x|$ (che continua a valere anche col quadrato), sempre invocando le conoscenze pregresse sul modulo.
Per la (4) non so se sono stato chiaro: in pratica la relazione $|x-y|^2 \leq |x-z|^2+|z-y|^2$ deve valere per ogni $x,y,z \in \mathbb{R}$, dunque per confutarla basta esibire almeno tre valori $x,y$ e $z$ per cui non vale.

[universo]

Così su due piedi non li ho trovati tre numeri che rendando falsa la diseguaglianza, però la scorciatoia intrapresa voleva essere un modo per evitare di dover risolvere ben otto sistemi differenti. Sarà che madre natura non è stata generosa con me in fatto di intelletto, ma ho applicato male la proprietà del valore assoluto e da lì la confusione.

[Mephlip]

Quale scorciatoia? Se intendi applicare la disuguaglianza triangolare in realtà quello è l'approccio standard per dimostrare (almeno nei casi semplici) la proprietà (4) sulla metrica, quindi non era un tentativo malvagio, poi gli errori capitano a tutti e quindi non ne farei una questione di intelletto (qualsiasi cosa significhi).
Se non si riesce a dimostrare qualcosa o è perché non si ha avuto l'idea corretta o perché è falsa; quindi prima o poi ti viene in mente l'idea di vedere se è falsa (a maggior ragione se il testo dell'esercizio dice "dire se", e non chiede "dimostrare"), ma è più questione di esperienza che altro (parere personale, non sono un esperto; almeno per me è stato ed è tuttora così).
Comunque prova a trovarli questi tre numeri, così ti convinci che non è una metrica!

[gugo82]

@ universo: Provare una disuguaglianza non equivale a risolvere una disequazione.

Quindi, i "noiosissimi sistemi" può darsi non servano a nulla.

[universo]

Per scorciatoia intendevo l'uso dell'uguaglianza a sinistra nella relazione del punto (4). E ha ragione @gugo82, spesso le cose sono più semplici di quel che sembrano e purtroppo capita sovente di perdermi in soluzioni complicate quando basta fornire un controesempio o fare una facile considerazione.
Una terna per cui non vale la diseguaglianza di cui sopra è (11,3,5), ma ne ho trovate altre 300000 con un programma in C; pare che il numero di queste cresca esponenzialmente all'aumentare di $ n \geq x, y, z$. Erano le quattro di mattina e non riuscivo a dormire