Forma generale per smooth manifolds in $\mathbb{R}^n$

Messaggioda Silent » 31/03/2020, 21:36

Prima di cominciare, riporto la definizione che sto utilizzando io di k-manifold in $\mathbb{R}^n$:

un insieme \(\displaystyle S\subset\mathbb{R}^n \) è detto superficie k-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) se per ogni punto \(\displaystyle \mathbf{x}_0\in S \) esiste un suo intorno \(\displaystyle U(\mathbf{x}_0) \) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \varphi \) (cioé un cambio di coordinate da \(\displaystyle (x_1,...,x_n) \) a \(\displaystyle (t_1,...,t_n) \)) tale che nelle nuove coordinate l'insieme \(\displaystyle U(\mathbf{x}_0)\cap S \) si possa definire come \(\displaystyle t_{k+1}=...=t_n=0 \).

Mi chiedevo se in generale è vero che un k-manifold $S\subset \mathbb{R}^n$, che sia almeno di classe \(\displaystyle C^{(1)} \), sia sempre descrivibile in un intorno \(\displaystyle U(\mathbf{x}_0) \) di un suo punto \(\displaystyle \mathbf{x}_0\in S \) con un sistema di n-k funzioni di classe \(\displaystyle C^{(1)} \) (anch'esse definite ovviamente in \(\displaystyle U(\mathbf{x}_0) \)), di rango massimo anche soltanto nel singolo punto \(\displaystyle \mathbf{x}_0 \):

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
F_1(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)=0
\\ F_2(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)=0
\\ ...
\\ F_{n-k}(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)=0

\end{matrix}\right. \)


Io ci provo.
Se prendiamo inizialmente il sistema, abbiamo che:

\(\displaystyle \mathbf{F}'(\mathbf{x})=\begin{pmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial x_1} &...& \frac{\partial F_1}{\partial x_k} & \frac{\partial F_1}{\partial x_{k+1}} & ... & \frac{\partial F_1}{\partial x_n}\\
\frac{\partial F_2}{\partial x_1} &...& \frac{\partial F_2}{\partial x_k} & \frac{\partial F_2}{\partial x_{k+1}} & ... & \frac{\partial F_2}{\partial x_n} \\
& ... \\
\frac{\partial F_{n-k}}{\partial x_1} &...& \frac{\partial F_{n-k}}{\partial x_k} & \frac{\partial F_{n-k}}{\partial x_{k+1}} & ... & \frac{\partial F_{n-k}}{\partial x_n}
\end{pmatrix} (\mathbf{x}) \)

e supponiamo che il rango massimo in \(\displaystyle \mathbf{x}_0 \) sia realizzato dalla sotto-matrice:

\(\displaystyle \begin{pmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial x_{k+1}} & ... & \frac{\partial F_1}{\partial x_n}\\
\frac{\partial F_2}{\partial x_{k+1}} & ... & \frac{\partial F_2}{\partial x_n} \\
& ... \\
\frac{\partial F_{n-k}}{\partial x_{k+1}} & ... & \frac{\partial F_{n-k}}{\partial x_n}
\end{pmatrix} (\mathbf{x}_0) \)

dunque posso usare il teorema della funzione implicita e dire che in un altro opportuno intorno \(\displaystyle U'(\mathbf{x}_0)\subset U(\mathbf{x}_0) \) si ha:

\(\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{x})=\mathbf{0}\iff \left\{\begin{matrix}
x_{k+1}=f_1(x_1,...,x_k)
\\ x_{k+2}=f_2(x_1,...,x_k)
\\ ...
\\ x_{n}=f_{n-k}(x_1,...,x_k)

\end{matrix}\right. \quad \forall (x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)\in U'(\mathbf{x}_0) \)

con \(\displaystyle \mathbf{f}\in C^{(1)} \) nel suo dominio (che sarebbe l'insieme degli \(\displaystyle (x_1,...,x_k) \) tali che \(\displaystyle (x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)\in U'(\mathbf{x}_0) \)).
A questo punto allora, per parametrizzare la superficie \(\displaystyle S \) posso considerare questo cambio di coordinate:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
t_1=x_1\\
t_2=x_2\\
...
\\
t_k=x_k\\
t_{k+1}=x_{k+1}-f_1(x_1,...,x_k)
\\ t_{k+2}=x_{k+2}-f_2(x_1,...,x_k)
\\ ...
\\ t_{n}=x_n-f_{n-k}(x_1,...,x_k)

\end{matrix}\right. \)

dove effettivamente i punti di \(\displaystyle S \) sono descritti da \(\displaystyle t_{k+1}=t_{k+2}=...=t_n=0 \). Quello che manca è far vedere che questo cambio di coordinate sia effettivamente tale, cioè che la funzione \(\displaystyle \mathbf{t}:U'(\mathbf{x}_0)\to \mathbf{t}(U'(\mathbf{x}_0)) \) sia un diffeomorfismo. Si vede velocemente che essa rispetta la definizione di iniettività ed inoltre, da una conseguenza del teorema della funzione implicita, è pure di classe \(\displaystyle C^{(1)} \) e quindi la superficie è 'smooth'.

Vediamo adesso il viceversa. Abbiamo per ipotesi una superficie \(\displaystyle S \) che sappiamo essere di dimensione k in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) e di classe \(\displaystyle C^{(1)} \). Quindi equivalentemente sappiamo che per ogni \(\displaystyle \mathbf{x}_0\in S \) esiste un suo intorno \(\displaystyle U(\mathbf{x}_0) \) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \mathbf{t}:U(\mathbf{x}_0)\to \mathbf{t}(U(\mathbf{x}_0)) \) di classe \(\displaystyle C^{(1)} \), tale per cui in \(\displaystyle U(\mathbf{x}_0) \) la superficie \(\displaystyle S \) si descrive come:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
t_1=t_1(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)\\
t_2=t_2(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)\\
...
\\
t_k=t_k(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)\\
t_{k+1}=t_{k+1}(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)=0
\\ t_{k+2}=t_{k+2}(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)=0
\\ ...
\\ t_{n}=t_{n}(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)=0

\end{matrix}\right. \)

e quindi possiamo subito rinominare virtualmente \(\displaystyle t_{k+1}(\mathbf{x}) \) in \(\displaystyle F_1(\mathbf{x}) \), ..., \(\displaystyle t_{n}(\mathbf{x}) \) in \(\displaystyle F_{n-k}(\mathbf{x}) \). Mancherebbe solo da far vedere, per provare una equivalenza completa, che il sistema di queste n-k funzioni abbia rango n-k. Questo direi che non si può arguire sapendo soltanto che \(\displaystyle \mathbf{t}(\mathbf{x}) \) è un diffeomorfismo.

Dunque la conclusione che posso fare a valle di tutto questo discorso è: l'equivalenza è falsa, ovvero un sistema di n-k condizioni funzionali a rango massimo nel punto \(\displaystyle \mathbf{x}_0 \) definisce una superficie in un suo intorno opportuno, ma il viceversa non è vero.


Secondo voi i miei ragionamenti sono corretti? Oppure ho scritto qualche cavolata?
Grazie in anticipo per eventuali riscontri.

EDIT: per il testo barrato, vedere post successivo.
Ultima modifica di Silent il 01/04/2020, 11:43, modificato 1 volta in totale.
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Re: Forma generale per smooth manifolds in $\mathbb{R}^n$

Messaggioda Silent » 01/04/2020, 11:41

Silent ha scritto:Vediamo adesso il viceversa. Abbiamo per ipotesi una superficie \( \displaystyle S \) che sappiamo essere di dimensione k in \( \displaystyle \mathbb{R}^n \) e di classe \( \displaystyle C^{(1)} \). Quindi equivalentemente sappiamo che per ogni \( \displaystyle \mathbf{x}_0\in S \) esiste un suo intorno \( \displaystyle U(\mathbf{x}_0) \) e un diffeomorfismo \( \displaystyle \mathbf{t}:U(\mathbf{x}_0)\to \mathbf{t}(U(\mathbf{x}_0)) \) di classe \( \displaystyle C^{(1)} \), tale per cui in \( \displaystyle U(\mathbf{x}_0) \) la superficie \( \displaystyle S \) si descrive come:

\( \displaystyle \left\{\begin{matrix} t_1=t_1(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)\\ t_2=t_2(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)\\ ... \\ t_k=t_k(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)\\ t_{k+1}=t_{k+1}(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)=0 \\ t_{k+2}=t_{k+2}(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)=0 \\ ... \\ t_{n}=t_{n}(x_1,...,x_k,x_{k+1},...,x_n)=0 \end{matrix}\right. \)

e quindi possiamo subito rinominare virtualmente \( \displaystyle t_{k+1}(\mathbf{x}) \) in \( \displaystyle F_1(\mathbf{x}) \), ..., \( \displaystyle t_{n}(\mathbf{x}) \) in \( \displaystyle F_{n-k}(\mathbf{x}) \). Mancherebbe solo da far vedere, per provare una equivalenza completa, che il sistema di queste n-k funzioni abbia rango n-k. Questo direi che non si può arguire sapendo soltanto che \( \displaystyle \mathbf{t}(\mathbf{x}) \) è un diffeomorfismo.


Anzi sì, si può arguire eccome!
Essendo \( \displaystyle \mathbf{t}:U(\mathbf{x}_0)\to \mathbf{t}(U(\mathbf{x}_0)) \) un diffeomorfismo, posso scrivere:

$$\mathbf{x}(\mathbf{t}(\mathbf{x}))=\mathbf{x}\quad\forall \mathbf{x}\in U(\mathbf{x}_0)$$

da cui:

$$ \mathbf{x}'(\mathbf{t}(\mathbf{x})) \cdot \mathbf{t}'(\mathbf{x})=\mathbf{1}$$

e dunque \(\displaystyle \mathbf{x}'(\mathbf{t}) \) ha rango massimo \(\displaystyle \forall \mathbf{t}\in \mathbf{t}(U(\mathbf{x}_0)) \), e \(\displaystyle \mathbf{t}'(\mathbf{x}) \) ha rango massimo \(\displaystyle \forall \mathbf{x}\in U(\mathbf{x}_0) \).

Giusto? :)

Se sì, allora l'equivalenza è veramente completa: ogni superficie \(\displaystyle S\subset\mathbb{R}^n \) 'smooth' di dimensione \(\displaystyle k \), è rappresentata da un sistema di equazioni 'smooth' di rango \(\displaystyle n-k \).
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Re: Forma generale per smooth manifolds in $\mathbb{R}^n$

Messaggioda dissonance » 02/04/2020, 04:16

Non ho letto i dettagli ma la proposizione è sicuramente vera.
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Re: Forma generale per smooth manifolds in $\mathbb{R}^n$

Messaggioda Silent » 02/04/2020, 08:13

Grazie.
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