Prodotto tra matrici

[ZfreS]

Avrei una curiosità: dato che la somma tra due matrici (di uguali dimensioni) è definita come la matrice che ha per elementi la somma degli elementi delle medesime posizioni, il che è abbstanza natura, perchè il prodotto tra matrici è definito come la somma dei prodotti tra gli elementi di una colonna di una matrice e gli elementi di una riga dell'altra matrice, e non come il prodotto tra gli elementi in rispettive posizioni? C'è una motivazione teorica a questo? Grazie a chi mi saprà rispondere!

[axpgn]

Prova a leggere questo, un primo spunto …

[solaàl]

Sì, c'è. Il prodotto di Cauchy è l'unico modo di rendere la mappa di moltiplicazione \(M_{pq}(K) \times M_{qr}(K) \to M_{pr}(K)\) una applicazione bilineare di spazi vettoriali; le matrici \(p\times q\) a ingressi in un campo \(K\) si identificano naturalmente all'insieme delle funzioni \(M : [p]\times [q] \to K\), dove con \([p]\) intendo l'insieme \(\{1,\dots,p\}\).

Allora, il prodotto di matrici tra \(M : [p]\times [q] \to K\) e \(N : [q]\times [r]\to K\), comunque sia definito, deve essere tale che \[(M+M')N= MN + M'N\] e \[M(N+N')=MN + MN',\] e \[(aM)N=a(MN)=M(aN)\] per ogni \(a\in K\).

[ZfreS]

Grazie per le risorse!

[solaàl]

Vedi anche qui https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6#p8440696