Metrica uniforme per funzioni $C^{(0)}[a,b]$

Messaggioda Silent » 02/04/2020, 16:44

Sto cercando di dimostrare che la metrica \(\displaystyle d_p(f,g):=\left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \) definita sull'insieme delle funzioni di classe $C^{(0)}[a,b]$ a valori in \(\displaystyle \mathbb{R} \), tenda a \(\displaystyle \max_{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)| \) per \(\displaystyle p\to\infty \).
La cosa non è così banale come nell'analogo caso di metrica su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), almeno per me.

Quello che ho provato a fare è questo.
Siccome \(\displaystyle |f(x)-g(x)| \) è continua in \(\displaystyle [a,b] \), assume massimo \(\displaystyle M \) in \(\displaystyle x_M\in [a,b] \). Di conseguenza, preso un \(\displaystyle \epsilon>0 \) piccolo a piacere, esiste un intorno \(\displaystyle U_{[a,b]}(x_M;\epsilon ) \) tale che \(\displaystyle |f(x)-g(x)|>M-\epsilon, \forall x\in U_{[a,b]}(x_M;\epsilon ) \).
Allora, per qualsiasi intervallo \(\displaystyle [c,d]\subset U_{[a,b]}(x_M;\epsilon ) \) posso scrivere:

$$ (M-\epsilon)(d-c)^{1/p} \leq \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p}\leq M(b-a)^{1/p} $$

e, a colpo d'occhio, per concludere dovrei prima passare al \(\displaystyle \lim_{p\to\infty} \) ovunque, e poi al \(\displaystyle \lim_{\epsilon\to 0} \) ovunque. Ciò che mi blocca è in particolare il primo dei due limiti, poiché in questo caso il teorema dei carabinieri non assicura più l'esistenza del limite al centro, in quanto i limiti a destra e sinistra non tendono allo stesso valore.
Come si può aggirare questa cosa? Oppure ho preso proprio una strada sbagliata per dimostrare l'asserto?
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Re: Metrica uniforme per funzioni $C^{(0)}[a,b]$

Messaggioda gugo82 » 02/04/2020, 17:07

Liberati delle cose inutili... Ti basta mostrare che \(\| u\|_p \to \| u\|_\infty\) per $p -> oo$.
Questo si fa usando qualche disuguaglianza classica per gli spazi $L^p$: prova a cercare sul forum, mi pare di averlo proposto come esercizio qualche anno fa.
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Re: Metrica uniforme per funzioni $C^{(0)}[a,b]$

Messaggioda Silent » 02/04/2020, 17:32

gugo82 ha scritto:Liberati delle cose inutili... Ti basta mostrare che \( \| u\|_p \to \| u\|_\infty \) per $ p -> oo $


Non ho capito di che parli :)
Comunque con la scrittura \( \| u\|_p \to \| u\|_\infty \) per $ p -> oo $ intendi \(\displaystyle u \) vettore di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \)?

Questo si fa usando qualche disuguaglianza classica per gli spazi $ L^p $: prova a cercare sul forum, mi pare di averlo proposto come esercizio qualche anno fa.

Sicuramente faccio una ricerca, anche se al momento sono ignorante sul significato di "spazio $ L^p $", purtroppo.
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Re: Metrica uniforme per funzioni $C^{(0)}[a,b]$

Messaggioda Silent » 02/04/2020, 20:54

Comunque per questo particolare caso, me ne posso uscire vivo così...

Questa scrittura:

\[ (M-\epsilon)(d-c)^{1/p} \leq \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p}\leq M(b-a)^{1/p} \]

implica che la successione \(\displaystyle \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \) è sia inferiormente che superiormente limitata.
Posso allora considerare i due limiti superiore e inferiore, i quali esistono sicuro poiché sono delle successioni monotone:

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \inf_{p\geq n} \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \geq \lim_{n\to\infty} \inf_{p\geq n} (M-\epsilon)(d-c)^{1/p}=M-\epsilon\)

e siccome il primo membro non dipende da \(\displaystyle \epsilon \), posso passare al \(\displaystyle \lim_{\epsilon\to 0} \) a entrambi i membri ottenendo:

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \inf_{p\geq n} \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \geq M \)

Analogamente, considerando il limite superiore:

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sup_{p\geq n} \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \leq \lim_{n\to\infty} \inf_{p\geq n} M(b-a)^{1/p}=M\)

Mettendo tutto insieme:

\(\displaystyle M \leq \lim_{n\to\infty} \inf_{p\geq n}(...) \leq \lim_{n\to\infty} \sup_{p\geq n} (...) \leq M \implies \exists \lim_{p\to\infty} \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} = M\).


Sono contento :-D :-D
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Re: Metrica uniforme per funzioni $C^{(0)}[a,b]$

Messaggioda gugo82 » 03/04/2020, 15:28

Quindi non stai lavorando con gli spazi $L^p$... Che stai studiando?

Per quanto riguarda \(\| u\|_p\) questo simbolo denota la norma $L^p$ della funzione $u$, i.e. la quantità $(int_a^b |u(x)|^p "d"x)^(1/p)$, ed analogamente \(\| u\|_\infty\) denota la norma $L^oo$, cioè la quantità $text(esssup)_{(a,b)} |u|$ che per funzioni continue in un compatto coincide con $\max_("["a,b"]") |u|$.
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Re: Metrica uniforme per funzioni $C^{(0)}[a,b]$

Messaggioda Silent » 03/04/2020, 15:59

gugo82 ha scritto:Quindi non stai lavorando con gli spazi Lp... Che stai studiando?

No infatti. Sto studiando per la prima volta cosa siano gli spazi metrici e gli spazi topologici, e sto vedendo alcuni esempi proposti, come quello sopra :-)
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Re: Metrica uniforme per funzioni $C^{(0)}[a,b]$

Messaggioda dissonance » 04/04/2020, 17:50

Comunque le "cose inutili" sono \(f(x)-g(x)\). Basta porre \(u(x)=f(x)-g(x)\) e si risparmiano un sacco di caratteri, oltre a facilitare la vita di chi legge. :-)
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Re: Metrica uniforme per funzioni $C^{(0)}[a,b]$

Messaggioda gugo82 » 04/04/2020, 18:04

dissonance ha scritto:Comunque le "cose inutili" sono \(f(x)-g(x)\). Basta porre \(u(x)=f(x)-g(x)\) e si risparmiano un sacco di caratteri, oltre a facilitare la vita di chi legge. :-)

Già... Ci conosciamo da troppo tempo: sai già dove voglio andare a parare. :lol:

gugo82 ha scritto:mi pare di averlo proposto come esercizio qualche anno fa.

Beh, 10 anni e mezzo fa... La memoria ancora funziona (almeno fin tanto che non si tratta di cosa ho mangiato ieri sera!).
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Re: Metrica uniforme per funzioni $C^{(0)}[a,b]$

Messaggioda Silent » 04/04/2020, 18:19

Capisco :-)
Grazie di aver riportato il link, quando arriverò a leggere qualcosa sugli spazi \(\displaystyle L^p \) andrò sicuramente a studiarmelo in dettaglio.
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Re: Metrica uniforme per funzioni $C^{(0)}[a,b]$

Messaggioda gugo82 » 04/04/2020, 19:07

Aspe'... Forse per le funzioni continue si può fare qualcosa di molto più semplice.
Appena ho un po' di tempo, cerco di buttare giù qualcosa.
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