Sto cercando di dimostrare che la metrica \(\displaystyle d_p(f,g):=\left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \) definita sull'insieme delle funzioni di classe $C^{(0)}[a,b]$ a valori in \(\displaystyle \mathbb{R} \), tenda a \(\displaystyle \max_{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)| \) per \(\displaystyle p\to\infty \).
La cosa non è così banale come nell'analogo caso di metrica su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), almeno per me.
Quello che ho provato a fare è questo.
Siccome \(\displaystyle |f(x)-g(x)| \) è continua in \(\displaystyle [a,b] \), assume massimo \(\displaystyle M \) in \(\displaystyle x_M\in [a,b] \). Di conseguenza, preso un \(\displaystyle \epsilon>0 \) piccolo a piacere, esiste un intorno \(\displaystyle U_{[a,b]}(x_M;\epsilon ) \) tale che \(\displaystyle |f(x)-g(x)|>M-\epsilon, \forall x\in U_{[a,b]}(x_M;\epsilon ) \).
Allora, per qualsiasi intervallo \(\displaystyle [c,d]\subset U_{[a,b]}(x_M;\epsilon ) \) posso scrivere:
$$ (M-\epsilon)(d-c)^{1/p} \leq \left( \int_a^b |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p}\leq M(b-a)^{1/p} $$
e, a colpo d'occhio, per concludere dovrei prima passare al \(\displaystyle \lim_{p\to\infty} \) ovunque, e poi al \(\displaystyle \lim_{\epsilon\to 0} \) ovunque. Ciò che mi blocca è in particolare il primo dei due limiti, poiché in questo caso il teorema dei carabinieri non assicura più l'esistenza del limite al centro, in quanto i limiti a destra e sinistra non tendono allo stesso valore.
Come si può aggirare questa cosa? Oppure ho preso proprio una strada sbagliata per dimostrare l'asserto?