facciamo così
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questa dispensinaE' molto basilare, avrei anche qualche cosa da ridire su come è stata scritta ma ha il grande pregio di essere davvero elementare e ti fa entrare subito nella logica bayesiana.... è una lettura che puoi fare in un'ora....
qui invece trovi un interessante esercizio sulla stima bayesiana dei parametri di una gaussiana; topic postato da un utente che ho risolto...ma non si è più fatto vivo...mah la gente è strana.
In questi anni ne ho risolti una decina postati da vari utenti, basta usare la funzione "cerca". Questo me lo ricordavo perché è piuttosto recente ed interessante.
Per la prova delle ipotesi aspettiamo di arrivarci
Ecco un esercizio appena inventato apposta per te....
La seguente tabella analizza gli individui infettati da coronavirus in un piccolo paese nelle ultime 6 settimane
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Settimane da oggi | 0-1 | 1-2 | 2-3 | 3-4 | 4-5 | 5-6 |
infettati | 16 | 6 | 6 | 2 | 4 | 1 |
Ci proponiamo di stimare il numero medio di individui infettati la settimana e la stima che ci sia almeno un infettato la prossima settimana....il tutto in modo Bayesiano.
Vediamo come costruire la "to do list" (ovviamente la maggior parte di questi passaggi ti verranno forniti come dati del problema)
1) definire il modello statisticoDato che man mano che ci si distanzia da oggi gli infettati sono sempre meno, possiamo formulare l'ipotesi che il modello statistico sottostante segua una legge di poisson, $X~Po(theta)$
2) definire la distribuzione a priori del parametroLa prior contiene le informazioni sul parametro che abbiamo in base alla nostra conoscenza del problema e prima di aver osservato i dati. E' un dato soggettivo, che viene stabilito dal ricercatore. Ci sono diversi metodi standard per definire una prior, utilizziamo una prior coniugata col modello, ovvero una distribuzione Gamma. Per semplificare un po' i conti supponiamo che la prior sia una esponenziale negativa di media 5 (l'esponenziale è anch'essa una gamma)
3) identificare la posteriorQuesto è il passaggio che dovrai fare sempre tu....moltiplichi la prior e la verosimiglianza e cerchi di vedere se il risultato segue una legge nota...ovviamnete nella moltiplicazione puoi tralasciare tutte le quantità che non dipendono più da $theta$ perché fanno parte della costante di normalizzazione.
Quindi:
$p(theta|ul(x)) prop e^(-theta/5)theta^(Sigmax)e^(-n theta)=theta^[(1+35)-1]e^(-6.2 theta)$
vediamo subito che la posterior è una Gamma, e precisamente, una $"Gamma"(36;6.2)$
4) la stima bayesianaUna stima puntuale bayesiana (attenzione una stima eh...non l'unica possibile) è la media a posteriori e quindi possiamo stimare il numero medio di infettati la settimana così
$mathbb{E}[theta|ul(x)]=alpha/beta=36/(6.2)=5.806$
Ora veniamo al quesito più "bayesiano", ovvero la stima che $X>=1$
Dato che il modello è poissoniano, la probabilità cercata è
$mathbb{P}[X>=1]=1-mathbb{P}[X=0]=1-e^(-theta)$
anche qui si può usare come stima la media a posteriori, quindi
$e^(-hat(theta))=int e^(-theta) (6.2)^36/(Gamma(36))theta^(35)e^(-6.2theta)d theta=$
$=(6.2)^36/(7.2)^36 underbrace( int_0^(+oo)(7.2)^36/(Gamma(36))theta^(35)e^(-7.2 theta)d theta )_(=1)=(6.2)^36/(7.2)^36 =0.0046$
Quindi la stima puntuale bayesiana richiesta è
$1-0.0046=0.9954$
ecco questo è un esercizio standard sulla stima puntuale.
Meilleures Salutations