Esercizio sui vettori di $RR^2$

[Overflow94]

Siano $x_1, x_2, x_3 in RR^2$ tali che:

$||x_1||=||x_2||=||x_3||=1$
$x_1+x_2+x_3=(0, 0)$

Dimostrare che $x_1, x_2, x_3$ appartengono alla circonferenza unitaria e sono i vertici di un triangolo equilatero.

I vettori appertengono alla circonferenza unitaria poiché hanno norma $1$.

Congetturo che $||x_i - x_j||=1$ con $i!=j$, come si potrebbe dimostrare?

[marco2132k]

Volevo risponderti, però mi sono accorto che faccio abbastanza schifo. L'idea era di provare che i tuoi \( z_i \) sono nient'altro che radici cubiche \( \omega_i \) dell'unità a meno di una rotazione \( z\mapsto e^{i\theta}z \), per \( \theta\in\left[0,2\pi\right[ \). Che le rotazioni preservino gli angoli si sa, quindi così avresti finito.

In bella: è vero che se \( z_1,\dots,z_n\in U \) sono punti della circonferenza unitaria che sommano a zero, allora sono radici \( n \)-esime dell'unità? So dimostrare il contrario, ma

[obnoxious]

Un approccio non molto geometrico: se \( (a_1, b_1)\), \( (a_2,b_2) \) e \( (a_3,b_3)\) sono i tre punti, abbiamo le seguenti cinque condizioni: \[ \begin{cases} a_1 + a_2 + a_3 = 0 \\ b_1 + b_2 + b_3 = 0 \\ a_1 ^2 + b_1 ^2 = 1 \\ a_2^2 + b_2 ^2 = 1 \\ a_3 ^2 + b_3 ^2 = 1. \end{cases} \] Quadrando e sommando le prime due si ottiene \[ \begin{split} 0 &= a_1 ^2 + a_2 ^2 + a_3 ^2 + b_1 ^2 + b_2 ^2 + b_3 ^2 + 2(a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_1 a_3 + b_1 b_2 + b_2 b_3 + b_1 b_3) \\ & = 3 + 2(-a_1 ^2 + a_2 a_3 - b_1^2 + b_2 b_3) \\ & = 1 + 2 ( a_2 a_3 + b_2 b_3) \end{split} \]da cui segue che l'angolo \( \theta_{23} \) tra \( (a_2,b_2) \) e \( (a_3, b_3) \) è tale che \( \cos (\theta_{23}) = -1/2 \). Similmente si ottiene \( \cos(\theta_{12}) = \cos(\theta_{13}) = -1/2 \) per cui dev'essere \( \theta_{12}= \theta_{13}=\theta_{23}= 2 \pi /3 \).

[marco2132k]

Metto alcune osservazioni in spoiler.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se numeriamo gli \( z_i \) in senso antiorario in modo che \( z_1 \) sia il "più vicino" all'asse reale (cioè se facciamo in modo che l'angolo \( \theta_1 = \arg z_1\in\left[0,2\pi\right[ \) sia il \( \min\{\arg z_i\} \)), la rotazione \( z\mapsto e^{-i\theta_1}z \) porta \( z_1 \) in \( 1 \). Poi. Penso che per induzione si potrebbe far vedere che \( e^{-i\theta_1}z_k = e^{\frac{ik\pi}{n}} \): se la cosa è vera per \( k \), allora dovrebbe essere vera anche per \( k + 1 \) qualora \( k + 1 \) sia minore o uguale a \( n \). L'idea è di scrivere \( z_{k + 1} \) come
\[
\begin{aligned}
z_{k+1} &=\textstyle -z_k - \sum_{j\neq k,\,j\neq k + 1}z_j\\
&=\textstyle -e^{i\theta_k} - \sum_{j\neq k,\,j\neq k + 1}e^{i\theta_j}
\end{aligned}
\] dove \( \theta_k = \arg z_k \), ovviamente. Moltiplicando dunque entrambi i membri per \( e^{-i\theta_1} \), abbiamo
\[
\textstyle e^{i\left(\theta_{k+1} - \theta_1\right)} = -\omega_k - \sum_{j\neq k,\,j\neq k + 1}e^{i\left(\theta_j - \theta_1\right)}
\] Ma da qui?

[Overflow94]

@obnoxious: grazie. Visto che ci ho messo un po' a capire la tua risposta permettimi di specificare i dettagli per chi come me è nabbo in geometria.

$<x_i, x_j> = a_ia_j + b_ib_j = -1/2$
$cos theta_(ij) = (<x_i, x_j>) /(||x_i||||x_j||)=-1/2 $
$theta_(ij) = (2pi)/3$

Quindi il nostro triangolo è partizionato in tre triangoli che hanno l'origine come vertice in comune. Questi tre triangoli hanno, come dimostrato, un angolo uguale e due lati uguali, in quanto hanno tutti la lunghezza del raggio della circonferenza $1$, quindi sono uguali. In particolare i loro lati che corrispondono con i lati del triangolo di partenza sono uguali e quindi è equilatero.

I tre triangoli interni sono isosceli in quanto hanno due lati uguali e l'angolo fra loro compreso misura $120°$ per cui la lunghezza del loro terzo lato è maggiore di $1$ smentendo la mia congettura $||x_i - x_j||=1$.

@marco2131k: molto interessante il tuo approccio, in origine il problema era formulato in termini di numeri complessi quindi credo sia anche quello "più indicato", cercherò di approfondirlo.

[dissonance]

Ci ho pensato un po'. Intanto, come già notato da Marco, assumiamo senza perdità di generalità che \(z_1=1\). Si tratta quindi di dimostrare che se \(|z|=|w|=1\) e
\[\tag{1}1+z+w=0,\]
allora
\[
z=e^{\pm i\frac23 \pi}, \quad w=\overline z.\]
Ma la seconda condizione \(w=\overline z\) è immediata dalla (1); infatti, prendendo la parte immaginaria in (1) si ottiene \(\Im(z+w)= 0, \) quindi \(z+w\) è reale, e siccome \(z\) e \(w\) sono sulla circonferenza unitaria, deve essere \(w=\overline z\).

Prendendo ora la parte reale di (1) si ha
\[
1+2\Re z=0, \]
quindi \(\Re z = -\frac12\). Da cui, siccome \((\Re z)^2+ (\Im z)^2=1\),
\[
\Im z= \pm\frac{\sqrt 3}{2}, \]
e abbiamo finito.

Questo sostanzialmente è lo stesso approccio di obnoxious. Mi è piaciuta l'idea di Marco, sarà sicuramente vero che
\[
1+z_1+z_2+\ldots +z_{n-1}=0, \quad \lvert z_j\rvert=1\]
implica che le \(z_j\) sono radici \(n\)-esime dell'unità. Ci deve essere anche un modo "ovvio" di dimostrarlo. Sicuramente c'è sul libro di Needham ("Visual complex analysis", vedere figura 19 a pagina 27).

[anonymous_0b37e9]

Intanto, se si sommano i 3 vettori adottando il metodo punta-coda, la poligonale deve essere necessariamente chiusa. Inoltre, se i 3 vettori hanno lo stesso modulo, la poligonale deve essere necessariamente un triangolo equilatero. Vero è che, se necessario, andrebbe formalizzato.

[dissonance]

@anonymous_0b37e9: giusto! Secondo me è una dimostrazione rigorosa e non c'è da formalizzare. Vale anche per il caso degli \(n\) vettori. Chissà se si può tradurre in una dimostrazione algebrica elegante.

[anonymous_0b37e9]

Ciao dissonance.

Chissà se si può tradurre in una dimostrazione algebrica elegante.

Bisognerebbe pensarci.

[dissonance]

@anonymous_0b37e9: Ah però c'è un problema. Se sommi i vettori con il metodo punta-coda, non ottieni lo stesso triangolo che otterresti mettendo la coda dei tre vettori nell'origine. E purtroppo è proprio quest'ultimo triangolo quello considerato in questo esercizio.