Spazi \( L^p \)

[3m0o]

Capito per la mappa che passa al quoziente, grazie

Se ti va, dimostra: Siano $f, g : X \to \mathbb{R}$ misurabili e uguali quasi ovunque. Se sono continue allora coincidono ovunque. Dedurne che se $f: X \to \mathbb{R}$ è misurabile ed esiste $g : X \to \mathbb{R}$ continua che coincide quasi ovunque con $f$, allora è unica. Esibire un esempio di funzione misurabile per cui non esiste alcuna funzione continua con cui coincide quasi ovunque.

Ok, ci provo.

P.S. : mi infastidisce moltissimo che stiate studiando tutto su $\mathbb{R}$ e non in un generico spazio di misura. Perché fate così? Cosa studi?

Perché questo non è il corso di misura ed integrazione

È il corso che si chiama Analisi IV e il programma è integrazione e misura di Lebesgue su \( \mathbb{R} \) e analisi di Fourier.
L'anno prossimo abbiamo il corso di misura ed integrazione in cui generalizziamo.
Ps: matematica.

[3m0o]

Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) continua e \( f= 0 \) quasi ovunque. E sia \( N = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) \neq 0 \} \), supponiamo per assurdo che \( N \neq \emptyset \), per definizione abbiamo \( \operatorname{mes}(N) = 0 \). Abbiamo che \( \{0\} \) è chiuso in \( \mathbb{R} \) e dunque \( \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \) è aperto. Inoltre siccome \( f \) è continua abbiamo che \( f^{-1}(\mathbb{R} \setminus \{0\} ) = N \) è aperto, e dunque esiste un ricoprimento \((I_j)_j \) al più numerabile di intervalli disgiunti di \( N \), pertanto abbiamo che
\[ 0 < \operatorname{mes}\left( \bigcup_{j} I_j \right) \overset{\sigma-\text{additività}}{=} \sum_{j} \operatorname{mes}(I_j) = \operatorname{mes}(N) \]
Assurdo!
Siano ora \( f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) continue e \(f=g \) quasi ovunque. Allora \( f-g \) è continua e \( f- g = 0 \) quasi ovunque.
Pertanto se esistono due funzioni \( g_1, g_2 \) continue tale che \( f= g_1 \) e \( f= g_2 \) quasi ovunque significa che \( g_1 = g_2 \) quasi ovunque e pertanto \( g_1 = g_2 \).

Per il contro esempio ci devo pensare.

Mi chiedo però di insiemi con misura zero ne esistono a priori di tutti i tipi (aperti, chiusi, ne aperti ne chiusi, etc...) oppure sono caratterizzabili?

[dissonance]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Perché fate così? Cosa studi?

Conoscendo il corso che 3m0o sta seguendo non c'è nessun pericolo. È un corso di matematica di livello molto alto.

[3m0o]

Per il controesempio
\( \chi_{(a,b)} \) dove \( -\infty < a < b < + \infty \). Infatti se esistesse una funzione continua \( f = \chi_{(a,b)} \) allora avremmo \( f= 0 \) quasi ovunque oppure \( f=1 \) quasi ovunque. E quindi avremmo che \( \operatorname{mes}((a,b))=0 \) oppure \( \operatorname{mes}(\mathbb{R} \setminus [a,b]) = 0 \) ed entrambe le affermazioni sono false. Dunque non esiste una tale \(f \).

[Bremen000]

@ 3m0o e dissonance: per il corso, capisco! Ho visto che 3m0o se ne capisce anche di cose di analisi complessa che per me sono arabo! D'altro canto mi sembra una faticaccia inutile fare queste cose su $\mathbb{R}$ per poi rifarle identiche in un altro corso l'anno dopo; alla fine, se non fai derivate, $\mathbb{R}$ non ha niente di speciale in TdM! Ero solo curioso. Poi, questa mia critica probabilmente si scontra con esigenze didattiche che non capisco appieno.

Per gli "esercizi", perfetto! Una cosa che poi riguarda anche il tuo PS. Gli insiemi aperti (non vuoti) hanno sempre misura di Lebesgue positiva!! E' molto più immediato: se $\emptyset \ne A \subset \mathbb{R}$ ed è aperto, allora contiene almeno un $x$ e, essendo aperto, tutto un suo intorno $(x-\epsilon, x+ \epsilon)$ quindi
\[ \mu(A) \ge \mu((x-\epsilon, x+\epsilon)) = 2\epsilon >0. \]

Quindi, a parte il vuoto, non esistono aperti di misura nulla. Ci sono molti chiusi (e anche compatti) di misura nulla (tutti i singoletti) e anche insiemi né aperti né chiusi di misura nulla. Sai trovare un esempio?

Oh, tutto questo vale ovviamente per la misura di Lebesgue! In generale non è vero!