Topologia

[Butterman]

Ciao a tutti,
ho un esercizio da proporvi.
Si mostri che in uno spazio topologico di Hausdorff, $\forall I,U$ compatti e disgiunti $\exists V,Q$ aperti disgiunti tali che $I \subset V$ e $U \subset Q$ .

Innanzitutto bisogna mostrare che $\forall x \notin U \exists V_x , Q_x$ aperti disgiunti tali che $x\in V_x$ e $U \subset Q_x$ è giusto? Voi come lo fareste?

[3m0o]

Inizia con il dimostrare che per \( I = \{ x \} \) e \( U \) compatto e disgiunto da \(I\) esistono due aperti \(V,Q \) tale che
\( I \subseteq V \) e \( U \subseteq Q \). Per fare ciò ricordati che in uno spazio di Hausdorff puoi separare due punti quindi considera per ogni punto di \( y \in U \) un aperto \(Q_y \ni y \) e scegli un aperto \(V_y \ni x \) disgiunto da \(Q_y \), lo puoi fare perché lo spazio è di Hausdorff. Nota che \( U \subseteq \bigcup_{y \in U} Q_y \) e \( I \subseteq \bigcap_{y \in U} V_y \).
Prova a concludere usando il fatto che \( U \) è compatto.

Poi cerca di generalizzare questa cosa con \( I \) e \( U \) compatti.